Задание

1. Дана система с последовательным соединением звеньев с вероятностью безотказной работы р_i(t) 0,970, 0,950, 0,990, 0,980, 0,980.

Определить вероятность безотказной работы всей системы Р(t).

Посредством поэлементного резервирования «слабого» звена повысить вероятность безотказной работы всей системы Р(t) до не менее 0,92: определить минимальное количество резервных элементов.

2. Дана система с последовательным соединением звеньев с вероятностью безотказной работы р_i(t) 0,970, 0,970, 0,990, 0,980, 0,980.

Определить вероятность безотказной работы всей системы Р(t).

Посредством поканального резервирования повысить вероятность безотказной работы всей системы Р(t) до не менее 0,999: определить минимальное количество резервных каналов.

3. Дана система с последовательным соединением звеньев с вероятностью безотказной работы р_i(t) 0,970, 0,970, 0,990, 0,980, 0,980.

Посредством поэлементного резервирования повысить вероятность безотказной работы всей системы Р(t) до не менее 0,999: определить минимальное количество резервных элементов. Количество резервов для всех элементов взять одинаковое.

4. Определить вероятность безотказной работы системы Р(t) для частично-параллельного резервирования при:

• общем количестве элементов n=10;

• количестве, достаточном для работоспособности j=7;

• вероятность безотказной работы элемента p(t)=0,99.

Практическая работа №7. Анализ надежности технических систем методом «Дерево отказов»

Цель:

• закрепление теоретических знаний и развитие умений расчета показателей надежности элементов ТС.

Задачи:

• решить задачи.

Основные теоретические сведения

Дерево отказов – модель надёжности, которая отражает логико-вероятностные взаимосвязи между отказами, совокупность которых приводит к главному анализируемому событию.

Примеры элементов дерева отказов приведены в таблице.

Обозначение	Тип элемента	Пояснение
	«листья»	первичные отказы, как исходные события, детализация которых не целесообразна
	результирующее событие	как комбинация неисправностей
	головное событие	(происшествие) предшествующие (кроме первичных отказов)
	неполное событие	неисправность, причины которой выявлены не полностью (в случае важности требует дальнейшей детализации события)
	логические условия объединения событий	Схема «И»: сигнал на выходе появляется только при наличии всех входных сигналов (*)
	логические условия объединения событий	Схема «ИЛИ»: сигнал на выходе появляется при наличии любого хотя бы одного сигнала (+)
	логические условия объединения событий	Схема «И»: события на входе должны происходить в определённом порядке
	логические условия объединения событий	Схема «ИЛИ»: события на входе должны происходить в определённом порядке

Методика построения дерева отказов

1.Определение области анализа

Определение области анализа должно включать формулировку анализируемой цели, определение глубины анализа и основных предположений относительно условий обслуживания, эффективности системы при всех возможных условиях ее использования

2.Описание системы

Располагать полной информацией о системе очень важно для того, чтобы не пропустить причины, влияющие на нежелательное событие. Однако некоторые системы могут быть слишком сложны, чтобы быть полностью понятыми одним человеком. В этом случае получение необходимых специализированных знаний о системе должно включаться как соответствующий элемент анализа дерева неисправностей.

3.Определение нежелательного события (вершины событий)

Вершина событий определяет начало или наличие опасного состояния или неспособность системы обеспечивать желательную эффективность.

Определение нежелательного события может оказаться трудной задачей, хотя некоторые события просты и очевидны для наблюдения.

Для экспертной оценки, определения и подсчета нежелательных событий необходим персонал с достаточной квалификацией: инженер с широким знанием конструкции системы или системный аналитик с техническим образованием. Нежелательное событие используется для построения дерева отказов, одно событие для одного дерева.

4.Углубленное понимание причин.

После того как нежелательное событие выбрано, все причины, которые влияют на это событие, с вероятностями 0 и более изучаются и анализируются.

Получение точной цифры для вероятностей практически невозможно по причине очень долгих вычислений. Чтобы снизить время системного анализа используется компьютерное программное обеспечение.

Развитие отдельной ветви дерева неисправностей заканчивается после того, как достигнуты события хотя бы одной из следующих групп:

• основные события - независимые события, для которых подходящие для их описания характеристики могут быть определены отличными от дерева неисправностей способами;

• события, которые не должны разрабатываться далее по решению аналитиков;

• события, которые были или будут рассмотрены в дальнейшем в другом дереве неисправностей. Если событие исследовано, оно должно иметь ту же идентификацию, что и соответствующее событие в предыдущем дереве неисправностей так, чтобы последующее дерево эффективно формировало продолжение предыдущего.

Для выбранного события все причины нумеруются, затем группируются в порядке появления и используются для следующего шага.

5.Построение дерева отказов на основе изученных причин.

После выбора нежелательного события и анализа системы, после которого мы знаем все вызываемые эффекты ( и возможно их вероятности), мы можем построить дерево отказов. Дерево отказов основано на символах «И» и «ИЛИ», определяющих основные характеристики дерева неисправностей.

6.Оценка дерева отказов

После того, как дерево отказов было построено для определенного нежелательного события, оно оценивается и анализируется на предмет возможного улучшения или, другими словами, проводится анализ рисков и ищутся пути улучшения системы.

Этот этап является подготовительным для заключительного шага анализа, который будет контролировать идентификацию опасности. Итак, на этом этапе мы выявляем все возможные опасности, прямо или косвенно влияющие на систему.

7.Контроль определения опасности

Этот шаг очень специфичный и отличается для различных систем, но главное то, что после идентификации опасности последуют методы для уменьшения вероятности их возникновения.

Рис. 2.12

Вероятностная оценка дерева отказов

Схема И

Вероятность появления завершающего события по схеме И (рис. 2.13) вычисляется по теореме умножения вероятностей:

Р(Т) = Р(а) Р(b\а).

Р(b\а) – условная вероятность, вычисленная при условии, что первое имело место.

Если а и b − статистически независимые события, то

Р(Т) = Р(а) Р(b).

Схема ИЛИ

Вероятность появления завершающего события по схеме ИЛИ (рис. 2.14) вычисляется по теореме сложения вероятностей:

Р(Т) = Р(а)+Р(b)−Р(а·b).

Если а и b − статистически независимые события и произведение Р(а)Р(b) очень мало, то

Р(T) ≈ Р(а)+Р(b).

Рис. 2.13. Схема И – отказы источников питания: 1 – основного; 2 –резервного

Рис. 2.14. Схема ИЛИ – водитель: 1 – не стал останавливаться; 2 – не смог остановиться

Пример

Требуется преобразовать исходное дерево отказов с одинаковыми первичными отказами (рис. 2.15)

Решение

В₁=А₁+А₂

В₂=А₁+А₃

В₀=В₁·В₂

Т=С·В₀

T=C (А₁+А₂) (А₁+А₃).

T=C(А₁+А₂·A₃)

а	б
Рис. 2.15. Дерево отказов в случае повторяющихся событий: а – до преобразования; б – после преобразования A1, A2, A3 и С − элементарные; В1, В2, В0 − промежуточные; Т – завершающее

Пример

Требуется вычислить вероятность появления завершающего события дерева неисправностей (рис. 2.16) при событиях А, В, C, D и Е статистически независимых и равновероятностных:

Р(А)=Р(В)=Р(С)=Р(D)=Р(Е)=1/4.

Рис. 2.16. Дерево отказов

Метод 1

Запишем выражение для завершающего события

Т₀ = Т₁+Т₂

T₂ = CD, T₁=T₃E, Т₃=А+В

T₀ = E(A+B)+CD

Р(Т₀) = Р(ЕА+EB+CD).

Раскрывая полученное выражение, можно получить формулу для вероятности появления завершающего события.

При допущении о статистической независимости событий (отказов) можно найти количественную оценку вероятности появления завершающего события.

Метод 2

Mетод основан на вычислении вероятностей появления промежуточных событий.

В данном случае предполагается, что события (отказы) статистически независимы.

Используем правило умножения вероятностей.

Р(Т₃)=Р(А)+Р(В)−Р(А)·Р(В) ==1/4+1/4−1/16=7/16,

Р(Т₂) = P(C)·P(D) =1/4·1/4 = 1/16,

Р(Т₁) = Р(Т₃)·Р(Е) = 7/16·1/4 = 7/64,

Р(Т₀)=Р(Т₁)+Р(Т₂)−Р(Т₁)·Р(Т₂)= 7/64+1/16−7/64·1/16 =169/1024.

Задание

1. Преобразовать деревья отказов, предложенные преподавателем.

2. Решить предложенные задачи

3. Построить дерево отказов для следующих событий:

• пара утром в зимнее время не состоялась;

• не пришли студенты;

• не пришел преподаватель;

• преподавателя не заменили;

• авария в водоснабжении;

• аварию в водоснабжении во время не устранили;

• авария в электроснабжении;

• аварию в водоснабжении во время не устранили.

Пример дерева событий (рис 2.12) соответствует гипотетической последовательности событий при аварии с потерей теплоносителя в водоохлаждаемом реакторе АЭС.

Рис. 2.12. Дерево событий при аварии на атомной электростанции

Начальным со-бытием служит разрыв трубопровода с вероятностью Р0. Следующие собы-тия могут развиваться следующим образом:

1 – пребывание системы электроснабжения в исправном состоянии с вероятностью S1, или в неисправном состоянии с вероятностью Р1;

2 – срабатывание системы аварийного охлаждения с вероятностью S2 или несрабатывание с вероятностью Р2;

3 – срабатывание системы удаления продуктов радиоактивного деления с вероятностью S3 или несрабатывание с вероятностью Р3:

4 – сохранение целостности защитной оболочки с вероятностью S4 или нарушение ее целостности с вероятностью Р4.

Методика построения дерева отказов состоит из следующих этапов.

1. Определение аварийного, предельно опасного события (взрыв, пожар и др.) – вершины дерева.

Данное событие четко формулируют, дают признаки его точного распознавания. Если конечное событие сразу определить не удается, то производят прямой анализ работы объекта с учетом изменения состояния работоспособности, ошибок оператора и т.п. Перечисляют возможные отказы, рассматривают их комбинации, определяют последствия этих событий.

FTA включает 7 основных шагов: