5.2. Пример выполнения заданий практической части

Пример 1. Исследовать систему уравнений на совместность:

Решение. Выписываем расширенную матрицу системы:

.

Вычислим ранг основной матрицы системы. Очевидно, что, например, минор второго порядка в левом верхнем углу

содержащие его миноры третьего порядка равны нулю:

;

Следовательно, ранг основной матрицы системы равен 2, т.е. r(A)=2. Для вычисления ранга расширенной матрицы рассмотрим окаймляющий минор

Значит, ранг расширенной матрицы r( ) = 3. Поскольку r(A) ≠ r( ), то система несовместна.

Пример 2. Решить систему матричным способом:

Решение.

.

АХ = В; Х = А^-1 × В.

.

Пример 3. Решить систему уравнений, воспользовавшись формулами Крамера (4.4):

Решение.

1. Определитель данной системы .

2. Найдем определитель , заменив в определителе  первый столбец, столбцом свободных членов: _.

3. Найдем определитель , заменив в определителе  второй столбец, столбцом свободных членов: .

4. Найдем определитель , заменив в определителе  третий столбец, столбцом свободных членов: .

5. Найдем решения системы, воспользовавшись формулами Крамера (4.4):

; ; .

Ответ: (1, -1, 2).

Пример 4. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года 1/3 вклада, который составляет 600 ден. ед. , вложили в первый банк, а оставшуюся часть вклада во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 700 ден. ед. Если бы первоначально 1/3 вклада положили во второй банк, а оставшуюся часть вклада - в первый банк, то к концу

года сумма этих вкладов стала бы равна 680 ден. ед. .а) Записать в математической форме условия вложения денег. б) Какой процент начисляет каждый банк?

Решение. Пусть x – процентная ставка начисления I-го банка, x – процентная ставка начисления II-го банка. Тогда

вклада в I банк составит: д.е.

вклада в I банк составит: д.е.

Так как к концу года суммы этих вкладов составили 700 д.е. в I-м банке и 680 д.е. во 2-м банке. Составим систему уравнений:

.

Решим систему по формулам Крамера:

Тогда

Таким образом, процентная ставка I-го банка составляет 10% и II-го банка 20%.

Пример 5. В таблице приведены данные об исполнении баланса за отчетный период.

отрасль		потребление		конечный продукт	валовый выпуск
		энергетика	машино- строение
производство	энергетика машиностроение	7 12	21 15	72 123	100 150

Вычислить необходимый объем валового выпуска каждой отрасли, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроения сохранится на прежнем уровне.

Решение. По условию имеем вектор конечного продукта

Валовый выпуск: x₁=100; x₂=150.

Объем продукции: x₁₁=7; x₁₂=21;

x₂₁=12; x₂₂=15.

По формуле , находим

Т.е. матрица прямых затрат примет вид

,

которая имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

.

Необходимый объем валового выпуска X найдем по формуле: X = ( E – A )^-1Y.

Найдем матрицу полных затрат

Т.к.

то ,

,

тогда .

Т.е. валовый выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 179 усл.ед., а в машиностроительной – до 160.5 усл.ед..