5. Метод понижения порядка определителя.

Метод основан на следствии из теоремы Лапласа и заключается в следующем:

1. - с помощью элементарных преобразований получить в некоторой строке (столбце) определителя n-1 нулевой элемент (все, кроме одного);

2. - разложить определитель по элементам полученной строки (столбца);

3. - в результате применения следствия из теоремы Лапласа получится определитель порядка n-1 (на 1 меньше, чем порядок исходного);

4. - повторять указанные действия до тех пор, пока получится определитель третьего или второго порядка;

5. - полученный определитель вычислить одним из указанных выше способов.

2.2 . Пример выполнения заданий практической части

Пример 1. Найти значение определителя, пользуясь правилом треугольника: .

Решение.

Для вычисления значения определителя воспользуемся формулой .

Получаем:

Пример 2. Найти значение определителя методом приведения к треугольному виду: .

Решение.

Для приведения определителя к треугольному виду воспользуемся элементарными преобразованиями.

Сначала получим а₁₁=1.

[поменяем местами первый и второй столбец, поменяв при этом знак перед определителем]= – [будем получать нули в первом столбце; умножим первую строку на 10 и сложим со второй] =

= – [умножим первую строку на 3 и вычтем из третьей] =

= - [умножим первую строку на 3 и сложим с четвертой]=

= – [поменяем местами вторую и третью строки, поменяв знак перед определителем]= [ будем получать нули во втором столбце; умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей]= [умножим вторую строку

на 3 и вычтем из четвертой]= [умножим третью строку на 4 и вычтем из четвертой] = [умножим четвертую строку на 4 сложим с третьей]= [умножим третью строку на 3 и сложим с четвертой]= = [определитель приведен к треугольному виду; найдем произведение элементов главной диагонали]=37.

Пример 3. Найти значение определителя, разложив его по элементам первой и третьей строки: .

Решение.

Для вычисления значения определителя, воспользуемся теоремой Лапласа. Так как указано две строки, а данный определитель четвертого порядка, то и миноры, и их алгебраические дополнения будут являться определителями второго порядка. Получаем:

= + +

+ + +

+ + = (03-11) (-1)⁷(-11(-2)-102)+(05-(-3) 1) (-1)⁸(-10(-2)-10(-3))+(0(-7)-121) (-1)⁹(-102-(-11) (-3))+(15-(-3) 3)

(-1)⁹(-2(-2)-103)+(1(-7)-133) (-1)¹⁰(-22-(-11) 3)+(-3(-7)-125) (-1)¹¹(-2(-3)-(-10) 3) = (-1)(-1) 2+350+(-12) (-1) (-53)+14(-1) (-26)+(-43) 29+(-39) (-1) 36=37.

Пример 4. Найти значение определителя методом понижения порядка: .

Решение.

Для того чтобы воспользоваться следствием теоремы Лапласа, получим нули, например, в первом столбце.

=[умножим первую строку на 2 и сложим со второй]= = =[умножим первую строку на 4 и сложим с третьей]= = =[умножим первую строку на 3 и вычтем из четвертой]= = =[умножим первую строку на 2 и сложим с пятой]=

= =[разложим определитель по элементам первого столбца, учитывая, что все слагаемые в разложении, кроме первого, будут равны нулю]= =[вынесем за знак определителя из третьей строки множитель (-4)]= =[вынесем за знак определителя из первого столбца множитель (-1)]= =[вычтем из первой строки четвертую, чтобы получить единицу в первой строке]= =[в данном случае удобнее получать нули в первой строке, поэтому сложим первый столбец со вторым]= = =[умножим первый столбец на 7 и сложим с третьим]= = =[ умножим первый столбец на 9 и сложим с четвертым]= = =[разложим определитель по элементам первой строки, учитывая, что все слагаемые в разложении, кроме первого, будут равны нулю]=

= = =[вынесем из первой строки множитель 2]= = = =[вынесем из второй строки множитель 2]= =[вынесем из первого столбца множитель 2]= = = =[вынесем из второго столбца множитель 3]= = =[вторую строку умножим на 4 и вычтем из первой]= = =[разложим определитель по элементам первой строки, учитывая, что все слагаемые в разложении, кроме второго, будут равны нулю]= =96(282-1115)=-96.