4. Закон Харди – Вайнберга. Закон Пирсона.

В 1908 г. английский математик Харди и немецкий врач Вайнберг сформулировали независимо друг от друга закон популяционного равновесия:

«… в идеальной популяции частоты генов и генотипов находятся в равновесии и не изменяются в ряду поколений».

Идеальной (или менделеевской) популяцией считается та, для которой соблюдаются следующие 6 условий:

1. новые мутации в данной популяции не появляются;

2) популяция полностью изолирована, т. е. нет миграции особей - носителей генов в популяцию (иммиграции) и из популяции (эмиграции);

3) популяция бесконечно велика, к ней можно применять законы вероятности, т. е. когда крайне маловероятно, что одно случайное событие может изменить частоты аллелей;

4) скрещивания случайны, т. е. происходит чисто случайное образование родительских пар – панмиксия;

5) все аллели равно влияют на жизнеспособность гамет, и потомки от всех возможных скрещиваний имеют равновероятную выживаемость;

6) исходные частоты аллелей одинаковы у обоих полов.

Свой закон Харди и Вайнберг доказали математическим методом, на основании законов Менделя. Какова была логика этих доказательств?

Рассмотрим простейшую ситуацию: в популяции имеется один аутосомный локус, у него два аллеля А и а, их частоты p и q, сумма частот p + q = 1. В популяции встречаются три генотипа: АА, Аа и аа.

В озьмем 2 гетерозиготных организма из этой популяции и осуществим их скрещивание:

P: Aа × Аa

G : А а А а

F₁: АА : 2Аа : аа

Напишем решетку Пэннета (для случая, когда р = 0,7; q = 0,3):

Рисунок 2 – Геометрическое представление взаимосвязи между частотами аллелей и частотами генотипов в соответствии с законом Харди - Вайнберга

Из рисунка 2 следует, что частота гомозигот АА равна р², гомозигот

аа → q², а гетерозигот Аа → 2pq.

Сумма частот гомо– и гетерозигот должна быть равна 1, т. е. p²+2pq+q²=(p + q)²=1, что соответствует формуле бинома Ньютона.

Всего возможно 9 вариантов скрещиваний (они представлены в таблице 2).

Таблица 2 – Типы скрещивания и потомки в свободно скрещивающейся популяции

Тип скрещивания		Возможные генотипы потомков и их частоты
♀	♂	АА	Аа	аа
АА × АА		p2
АА ×Аа		p2	pq
АА × аа			pq
А а × АА		p2	pq
Аа × Аа		p2	2pq	q2
Аа × аа			pq	q2
а а × АА			pq
аа × Аа			pq	q2
аа × аа				q2
И того:		4 p2	8 pq	4 q2
Соотношение частот генотипов		p2	2 pq	q2

Таким образом, соотношение гомо- и гетерозигот в популяции в целом не изменилось по сравнению с потомством одной пары и осталось равным 1 : 2 : 1. Это соотношение не изменится и в следующих поколениях, так как исходные данные одинаковы.

Такая популяция называется равновесной, т. к. частоты генов и генотипов остаются неизменными во всех последующих поколениях.

Популяции, имеющие одинаковые частоты генов, вовсе не обязательно идентичны по частотам генотипов. Например, при частотах генов А 0,6 и а 0,4 возможны следующие четыре популяции (табл. 3)

Таблица 3 – Частоты генотипов в 4-х возможных популяциях

Популяция	АА	Аа	аа	р	q
I II III IV	0,20 0,36 0,50 0,60	0,80 0,48 0,20 0	0 0,16 0,30 0,40	0,6 0,6 0,6 0,6	0,4 0,4 0,4 0,4

Хотя они отличаются по частотам генотипов, равновесное состояние всех популяций при изложенных выше условиях, наступающее в первом поколении после случайного скрещивания (а популяция II уже находится в этом состоянии), совершенно одинаково – 0,36АА : 0,48Аа : 0,16аа (рис. 3).

Рис. 3 – Частоты генотипов, представленные одной точкой в равностороннем треугольнике. А. Высота треугольника принята за единицу, а перпендикуляры, опущенные из точки Р (называемой популяционной точкой) на все три стороны треугольника, соответствуют соотношению x, y, и z (или p², 2pq, q²). Проекция точки Р делит основание треугольника на отрезки XY и YZ, пропорциональные генным частотам p и q соответственно. Б. Четыре популяции (I, II, III и IV) имеют одну и ту же частоту генов (q = 0,4), однако только популяция II находится в состоянии равновесия Харди – Вайнберга. Ее популяционная точка лежит на параболе, представляющей собой локус всех равновесных популяций. Обратите внимание, что вершина параболы (обозначена светлым кружком) соответствует той равновесной популяции, в которой p = q = 0,5 и в которой частота гетерозигот максимальна (2pq = 0,5).

Уравнение позволяет количественно оценивать изменения, происходящие в популяциях, и определять их направление. Если удастся найти в популяции гомозиготных особей, можно подсчитать частоту этого аллеля, а затем и частоты остальных генотипов. Если провести эту работу в нескольких поколениях, можно увидеть, какие процессы идут в генофондах популяций, а затем искать причину.

Как уже указывалось, правило Харди – Вайнберга применимо только в том случае, если выполняются все 6 условий, характеризующих идеальную популяцию. Если нарушается хотя бы одно из них, частоты аллелей начнут изменяться.

Для локуса, имеющего более 2-х аллелей, закон Харди – Вайнберга также выполняется, а формула имеет вид:

(p + q +r)² =p² + q² +r² + 2pq + 2pr + 2qr = 1, где r – частота третьего аллеля.

Еще раньше, до Харди и Вайнберга, в 1904 г. английский математик К. Пирсон сформулировал закон стабилизирующего скрещивания:

В условиях свободного скрещивания при любом исходном соотношении численности гомозиготных и гетерозиготных родительских форм уже после первого скрещивания внутри популяции устанавливается состояние равновесия.

Как мы видим, закон Пирсона – это частный случай закона Харди – Вайнберга.