Контрольные вопросы к разделу № 6

1. Что называется сложным сопротивлением?

2. В какой последовательности выполняется расчет валов, работающих на изгиб с кручением?

3. Как вычисляется расчетный эквивалентный момент?

4. Как записывается условие прочности при изгибе с кручением?

Раздел 7. Устойчивость сжатых стержней

Центрально сжатый длинный стержень (стойка) может при определенной величине внешней сжимающей силы утратить прямолинейную форму равновесия, т.е. изогнуться. Предельное значение силы, при которой прямолинейная форма равновесия стойки становится неустойчивой, называется критической силой.

Достижение нагрузками критических значений весьма опасно, т.к. потеря устойчивости обычно происходит внезапно и при низких значениях напряжений, когда прочность конструкции при нормальной форме равновесия не вызывает сомнений. При потере устойчивости резко возрастают деформации, появляется изгибающий момент, который вызывает дополнительные напряжения, и конструкция может внезапно разрушиться.

Для вычисления критической силы [F], т.е. наибольшей силы, которую выдержит центрально-сжатая стойка, используется следующий алгоритм расчета:

, (7.1)

где А — площадь поперечного сечения стойки, см2;

[σ] — допускаемое напряжение материала стойки при потере устойчивости, которое всегда принимается несколько меньшим, чем при простом сжатии, кН/см2;

φ — коэффициент продольного изгиба, устанавливающий связь между несущей способностью стойки при простом сжатии и устойчивостью в зависимости от её гибкости λ.

Коэффициент продольного изгиба φ находится в интервале крайних значений

, (7.2)

Если φ=1,0, то это случай простого сжатия, когда потеря устойчивости невозможна в принципе (сжатие коротких, толстых деталей).

Если φ=0, то это случай сжатия очень длинного тонкого стержня, который в принципе не может воспринимать сжимающих усилий.

Коэффициент продольного изгиба φ является нормативным и приводится в справочной литературе в зависимости от гибкости стойки λ и её материала. В приложении А приведены значения φ для обычных конструкционных сталей, чугуна и древесины.

Для определения коэффициента продольного изгиба φ, при решении конкретных задач необходимо предварительно вычислить гибкость стержня λ:

, (7.3)

где l — длина стойки, см;

μ — коэффициент приведения длины, зависящий от условий закрепления концов стойки (рис 7.1).

I	II	III	IV
μ=2,0	μ=1,0	μ=0,7	μ=0,5

Рисунок 7.1 – Схемы закрепления концов сжатой стойки:

I – один конец закреплен жестко, второй свободен; II – оба конца закреплены шарнирно; III – один конец закреплен жестко, второй шарнирно;

IV – оба конца закреплены жестко

Величина μ•l — называется приведенной (расчетной длиной) стойки, при этом коэффициент приведения длины μ показывает, во сколько раз следует увеличить или уменьшить длину шарнирно закрепленной с обоих концов стойки, чтобы критическая сила для неё была равно критической силе стойки в данных условиях закрепления (схемы I, III, IV).

Значение i в формуле (7.3), т.н. радиус инерции поперечного сечения стойки (см), равный

, (7.4)

где J – момент инерции поперечного сечения стойки, см⁴;

А - площадь поперечного сечения стойки, см².

Радиус инерции i является геометрической характеристикой поперечного сечения и для стандартных профилей, выпускаемых по сортаменту, приводится как известная величина. Для составных профилей радиус инерции i вычисляется по формуле (7.4).

Из выражения (7.1) можно выразить площадь поперечного сечения стойки А, которая гарантирует её работу до достижения величины критической силы, вызывающей потерю устойчивости:

, (7.5)

где F – заданная внешняя нагрузка, кН;

φ – коэффициент продольного изгиба;

[σ] – допускаемое напряжение при простом сжатии, задается условиями задачи;

Величина φ•[σ] может рассматриваться как допускаемое напряжение в случае потери устойчивости, т.е. предельные допускаемые напряжения при простом сжатии снижаются в случае возможной потери устойчивости.

Т.к. в условии устойчивости работы стойки (7.5) нам не известны ни площадь поперечного сечения А, ни коэффициент продольного изгиба φ, то одной из этих величин необходимо задаться. При практических расчетах на устойчивость предварительно задаются значением φ, а затем расчет ведется методом последовательных приближений.