Метод парабол (метод Симпсона)
Использовав три точки отрезка интегрирования, можно заменить подынтегральную функцию параболой. Обычно в качестве таких точек используют концы отрезка и его среднюю точку. В этом случае формула имеет очень простой вид
Если разбить интервал интегрирования на 2N равных частей, то имеем
,
где
Увеличение точности
Приближение функции одним полиномом на всем отрезке интегрирования, как правило, приводит к большой ошибке в оценке значения интеграла.
Для уменьшения погрешности отрезок интегрирования разбивают на части и применяют численный метод для оценки интеграла на каждой из них.
При стремлении количества разбиений к бесконечности, оценка интеграла стремится к его истинному значению для аналитических функций для любого численного метода.
Приведённые выше методы допускают простую процедуру уменьшения шага в два раза, при этом на каждом шаге требуется вычислять значения функции только во вновь добавленных узлах. Для оценки погрешности вычислений используется правило Рунге.
Варианты заданий
№1.
1)
; 2)
№2.
1)
; 2)
№3.
1)
; 2)
№4.
1)
; 2)
№5.
1)
; 2)
№6.
1)
; 2)
№7.
1)
; 2)
№8.
1)
; 2)
№9.
1)
; 2)
№10.
1)
; 2)
№11.
1)
; 2)
№12.
1)
; 2)
№13.
1)
2)
№14.
1)
2)
№15.
1)
2)
№16.
1)
2)
№17.
1)
2)
№18.
1)
2)
№19.
1)
2)
№20.
1)
2)
№21.
1)
2)
№22.
1)
2)
№23.
1)
2)
№24.
1)
2)
№25.
1)
2)
№26.
1)
2)
№27.
1)
2)
№28.
1)
2)
№29.
1)
2)
№30. 1)
2)
Образец выполнения задания
1)
2)
Задание №1. Решение методом трапеций
Для решения интегралов по методу трапеций необходимо определить значение n так, чтобы
|
(*) |
Здесь
где
Находим
Положим
тогда неравенство (*) примет вид
откуда
т.е.
возьмем
.
Вычисление интеграла производим по формуле
Где
Все расчеты приведены в табл. 7.
Таблица 7
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 |
0,7 0,73 0,76 0,79 0,82 0,85 0,88 0,91 0,94 0,97 1,00 1,03 1,06 1,09 1,12 1,15 1,18 1,21 1,24 1,27 1,30 |
0,49 0,5329 0,5776 0,6241 0,6724 0,7225 0,7744 0,8281 0,8836 0,9409 1,0000 1,0609 1,1236 1,1881 1,2544 1,3225 1,3924 1,4641 1,5376 1,6129 1,6900 |
1,28 1,3658 1,4552 1,5482 1,6448 1,7450 1,8488 1,9562 2,0672 2,1818 2,3000 2,4218 2,5472 2,6762 2,8088 2,9450 3,0848 3,2282 3,3752 3,5258 3,6800 |
1,1314 1,1686 1,2063 1,2443 1,2825 1,3210 1,3597 1,3986 1,4378 1,4771 1,5166 1,5562 1,5960 1,6356 1,6759 1,7161 1,7564 1,7967 1,8372 1,8777 1,9187 |
0,88386 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0,52129 |
0,85572 0,82898 0,80366 0,77973 0,75700 0,73546 0,71501 0,69551 0,67700 0,65937 0,64259 0,62657 0,61140 0,59669 0,58272 0,56935 0,55658 0,54431 0,53253 |
|
|
|
|
|
1,40515 |
12,77022 |
Таким образом,
Задание № 2.Решение методом Симпсона
Согласно
условию
поэтому
Вычислительная формула имеет вид
где
Вычисление значений функции, а также сложение значений функции, имеющих одинаковые коэффициенты в формуле, производим в табл.8.
Таблица8
i |
xi |
2xi-2,1 |
sin(2xi-2,1) |
xi2+1 |
y0,y8 |
y1,y3,y5,y7 |
y2,y4,y6 |
0 |
1,20 |
0,30 |
0,29552 |
2,44 |
0,1211 |
|
|
1 |
1,25 |
0,40 |
0,38942 |
2,5625 |
|
0,1520 |
|
2 |
1,30 |
0,50 |
0,4794 |
2,69 |
|
|
0,1782 |
3 |
1,35 |
0,60 |
0,5646 |
2,8225 |
|
0,2000 |
|
4 |
1,40 |
0,70 |
0,6442 |
2,96 |
|
|
0,2176 |
5 |
1,45 |
0,80 |
0,7174 |
3,1024 |
|
0,2312 |
|
6 |
1,50 |
0,90 |
0,7833 |
3,25 |
|
|
0,2410 |
7 |
1,55 |
1,00 |
0,8415 |
3,4025 |
|
0,2473 |
|
8 |
1,60 |
1,10 |
0,8912 |
3,56 |
0,2503 |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
0,8305 |
0,6368 |
Следовательно,
Для оценки точности полученного результата составим таблицу конечных разностей функций до разностей четвертого порядка (табл. 9).
Таблица 9
i |
yi |
∆yi |
∆2yi |
∆3yi |
∆4yi |
0 1 2 3 4 5 6 7 8 |
0,1211 0,1520 0,1782 0,2000 0,2176 0,2312 0,2410 0,2473 0,2503 |
0,0309 0,0262 0,0218 0,0176 0,0136 0,0098 0,0063 0,0030 |
-0,0047 -0,0044 -0,0042 -0,0040 -0,0038 -0,0035 -0,0033 |
0,0003 0,0002 0,0002 0,0002 0,0003 0,0002 |
-0,0001 0,0000 0,0000 0,0001 -0,0001 |
Так
как
то остаточный член формулы
Вычисления производились с четырьмя значащими цифрами, а потому величина остаточного члена на погрешность не влияет.
Погрешность вычислений можно оценить из соотношения
Значит, полученные четыре десятичных знака верны.