Контрольные вопросы

1. Представьте на графике возможные случаи решения системы двух нелинейных уравнений.

2. Сформулируйте постановку задачи о решении системы n-линейных уравнений.

3. Приведите итерационные формулы метода простой итерации в случае системы двух нелинейных уравнений.

4. Сформулируйте теорему о локальной сходимости метода Ньютона.

5. Перечислите трудности, возникающие при использовании метода Ньютона на практике.

6. Объяснить каким образом можно модифицировать метод Ньютона.

7. Изобразите в виде блок-схем алгоритм решения систем двух нелинейных уравнений методами простой итерации и Ньютона.

Лабораторная работа №3 Численное дифференцирование и интегрирование в математическом моделировании, вычисление интегралов методом прямоугольников.

Задание:

1. Вычислить интеграл методом левых и правых прямоугольников при n=10, оценивая точность с помощью сравнения полученных результатов.

2. Вычислить интеграл по формуле средних прямоугольников используя для оценки точности двойной просчет при n₁=S, n₂=10.

Теоретическая часть.

Вычисление определенного интеграла исторически обусловлено задачей расчета площадей различных фигур. Согласно “теореме о среднем” определенный интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке "x i " этого отрезка:

f ( )

a b

,где a и b - верхний и нижний пределы интегрирования.

Таким образом, определённый интеграл равен площади прямоугольника с основанием длиной и высотой Здесь значение , а значит и неизвестно. Однако, если отрезок интегрирования разбить на много малых отрезков , в которых значение функции можно принять постоянным, то

где

Вычисление определенного интеграла по приведенной выше формуле называется численным интегрированием. Численное интегрирование применяют при решении различных задач, например: при определении площадей сложных геометрических фигур, определении работы сил, расчете длины траектории точки и в других случаях, когда подынтегральная функция "f(x)"задана по точкам, имеет сложное аналитическое выражение или ее первообразная не определяется аналитически. Сущность численных методов интегрирования состоит в различной замене (интерполяции) сложной подынтегральной функции на малых отрезках простой функцией, либо в представлении подынтегральной функции в виде сходящегося бесконечного ряда.

Рассмотрим методы численного интегрирования, основанные на интерполяции подынтегральной функции на малых отрезках равной длины различными видами функций: постоянной, линейной, квадратичной и кубической. Формулы численного интегрирования, получаемые при различных интерполяциях подынтегральной функции, называются квадратурными.

При равномерном разбиении отрезка [a, b] на “N” малых отрезков (интервалов) необходимо определять значения функции в “M” точках внутри отрезка [a, b].

Метод прямоугольников основан на интерполяции функции на малом отрезке постоянным значением. Кривую на каждом малом интервале “h” заменяют горизонтальной линией, пересекающей кривую в середине отрезка, при этом M=N. Интеграл вычисляется по формуле:

; - на одном отрезке.

Здесь

Метод трапеций состоит в том, что кривую f(x) на каждом малом интервале "h" заменяют отрезком прямой, соединяющим точки кривой f(x) на краях этого интервала, при этом M=N - 1. Интеграл вычисляется по формуле:

Здесь

Метод Симпсона основан на интерполяции функции на малом отрезке квадратичной параболой, проходящей через крайние и среднюю точки кривой f(x). При этом M=2 * N - 1, а интеграл вычисляется по формуле:

.

Здесь

Варианты заданий

№1. 1) 2)

№2. 1) 2)

№3. 1) 2)

№4. 1) 2)

№5. 1) 2)

№6. 1) 2)

№7. 1) 2)

№8. 1) 2)

№9. 1) 2)

№10. 1) 2)

№11. 1) 2)

№12. 1) 2)

№13. 1) 2)

№14. 1) 2)

№15. 1) 2)

№16. 1) 2)

№17. 1) 2)

№18. 1) 2)

№19. 1) 2)

№20. 1) 2)

№21. 1) 2)

№22. 1) 2)

№23. 1) 2)

№24. 1) 2)

№25. 1) 2)

№26. 1) 2)

№27. 1) 2)

№28. 1) 2)

№29. 1) 2)

№30. 1) 2)