0. 5.4. Рекурсия

Описать функции для выполнения следующего задания двумя способами: используя механизм рекурсии и через цикл.

1. Вычислить для заданного натурального n: .

2. Вычислить для заданного натурального n: .

3. Вычислить для заданного натурального n: : .

4. Вычислить для заданного натурального n и вещественного x: .

5. Найти n-й член числовой последовательности, которая определяется рекуррентной формулой: a₁ = 1, a₂ = 2, a_n+1 = 2^.a_n + a_n–1.

6. Найти n-й член числовой последовательности чисел Фибоначчи.

7. Найти n-й член числовой последовательности, которая определяется рекуррентной формулой: a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a_n+1 = 3a_n + 2a_n– + a_n–2.

8. Найти значение полинома Чебышева Т_n(x) при заданных вещественном x и натуральном n, значения вычисляются по рекуррентной формуле T₀(x) = 1, T₁(x) = x, T_n+1(x) = 2xT_n(x) – T_n–1(x).

9. Найти корень уравнения f(x) = 0 методом деления отрезка [a, b] пополам с точностью eps (eps > 0, a < b, f(a)f(b) < 0).

10. Дано вещественное x, целое n. Определить xⁿ. Степенную функцию вычислять по формуле

11. Найти значение функции С(m,n), где 0 < m < n, если:

.

12. Найти наибольший общий делитель (НОД) m чисел.

НОД(n₁, n₂, ... n_m) = НОД (НОД (n₁, n₂, ... n_m–1), n_m)_.

5.5. Вычисление корня уравнения. Передача имени функции в качестве параметра. Аргументы по умолчанию

Вычислить корень уравнения на отрезке [a; b] с точностью  =10^–6, используя заданный метод (М = 1 – метод половинного деления, М = 2 – метод касательных, М = 3 – метод хорд) для заданных функций. Вычисление корня уравнения оформить в виде функции с функциональным параметром, параметры a, b, , s – в виде аргументов по умолчанию.

Результат представить в виде таблицы (s – значение параметра, х – вычисленный корень уравнения, f(x) – значение функции в найденной точке х, k_iter – количество итераций цикла для получения корня с заданной точностью):

S	X	F(x)	k_iter
S	...	...	...
S+s	...	...	...
...	...	...	...

1. a) f(x) = x² - 3; a = 1; b = 3;

б). ; a = 0; b = 1,5; s[0,1; 1,3]; s = 0,3. M=1.

1. 2. a) f(x) = x³ - 3; a = 1; b = 4;

б) ; a = 0; b = 4,5; s: s[0,5; 2], s = 0,5. M=1.

2. 3. а) f(x) = (x-1)² - 3 ; a = 1; b = 4;

б) ; a = 0; b = 2; s: s[0,3; 0,7]; s = 0,1. M=1.

3. 4. а) f(x) = (x-1)² - 3 ; a = -2; b = 1;

б) ; a = 0; b = 1;. s[1,95; 2], s = 0,01. M=1.

4. 5. а). f(x) = (x-1)² - 5 ; a = -3; b = 0;

б) ; a = 0,5; b = 0,8;. s[0,7; 1,6], s = 0,3; M=2.

5. 6. а) f(x) = (x-1)³ - 8 ; a = 1; b = 4;

б) ; a = 0; b = 1,5;. s[0,95; 1,2], s = 0,05; M=2.

6. 7. а) f(x) = (x+3)³ - 8 ; a = -2; b = 1;

б) ; a = 0; b = 2;. s[2,8; 3,2], s = 0,1; M=2.

7. 8. а )f(x) = (x-1)³ -1 ; a = 0; b = 3;

б) ; a = –1; b = 0,7;. s[1; 3], s = 1; M=1.

8. 9. а) f(x) = (x-1)² -5 ; a = 2; b =4;

б) a = –1,5; b = 2;. s[0,7; 1,6], s = 0,3; M=3.

9. 10. а) f(x) = (x+1)² -5 ; a = 0; b =2;

б) ; a = –1,5; b = 1;. s[0,9; 1,1], s = 0,05; M=3.

10. 11. а) f(x) = (x+1)² -4 ; a = 0; b =3;

б) ;

a = 0; b = 2;. s[0,9; 1,2], s = 0,02; M=3.

11. 12. а) f(x) = (x+1)² -9 ; a =1; b =4;

б) ; a = 0; b = 1;. s[0,96; 1,02], s = 0,02; M=3.