Решение задач на равновесие геометрическим способом

Геометрическим способом удобно пользоваться, если в системе три силы.

Порядок решения задач:

1. Определить возможное направление реакций связей.

2. Вычертить многоугольник сил системы, начиная с известных сил в некотором масштабе. (Многоугольник должен быть замкнут, все векторы-слагаемые направлены в одну сторону по обходу кон­тура.)

3. Измерить полученные векторы сил и определить их величину, учитывая выбранный масштаб.

4. Для уточнения решения рекомендуется определить величины векторов (сторон многоугольника) с помощью геометрических зави­симостей.

Пример 1. Груз подвешен на стержнях и находится в равнове­сии. Определить усилия в стержнях (рис. 2.5а).

Решение

1. Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз (5-я аксиома статики) (рис. 2.5а).

Определяем возможные направления реакций связей «жесткие стержни».

2. Освободим точку А от связей, заменив действие связей их реакциями (рис. 2.5 6).

3. Система находится в равновесии. Построим треугольник сил. Построение начнем с известной силы, вычертив вектор F в не­котором масштабе.

Из концов вектора F проводим линии, параллельные реакциям R₁ и R₂

Пересекаясь, линии создадут треугольник (рис. 2.5 в). Зная мас­штаб построений и измерив длину сторон треугольника, можно опре­делить величину реакций в стержнях.

4. Для более точных расчетов можно воспользоваться геометрическими соотношениями, в частности теоремой синусов: отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла — величина постоянная

а b с

— = —— = ——.

sin a sin β sm γ

Для данного случая:

Если направление вектора (реакции связи) на заданной схеме и в треугольнике сил не совпало, значит реакция на схеме должна быть направлена в противоположную сторону.

Контрольные вопросы и задания

1. По треугольникам сил решите, сколько сил входит в каждую систему и какая из них уравновешена.

2. Из представленных силовых треугольников выберите треугольник, построенный для

точки А

Шар подвешен на нити и находится в равновесии. Обратить внимание на направление реакции гладкой опоры и условие равновесия шара.

Тема 1.2. Плоская система сходящихся сил. Определение равнодействующей аналитическим способом

Знать аналитический способ определения равнодействующей силы, условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме.

Уметь определять проекции силы на две взаимно перпендикулярные оси, решать задачи в аналитической форме.

Проекция силы на ось

Проекция силы на ось определяется отрезком оси, отсекаемым перпендикулярами, опущенными на ось из начала и конца вектора (рис. 3.1).

Величина проекции силы на ось равна произведению модуля силы на косинус ее острого угла с осью.

Проекция имеет знак: положительный при одинаковом направлении вектора силы и оси и отрицательный при направлении в сторону отрицательной полуоси (рис. 3.2).

Случаи проектирования силы на ось

Проекция силы на две взаимно перпендикулярные оси (рис. 3.3)

Определение равнодействующей системы сил аналитическим способом

Построим силовой многоугольник из сил F₁ F₂ F₃ F₄. (рис. 3.4)

Равнодействующая равна векторной сумме этих сил R = F₁ + F₂ + F₃ + F₄ = ∑F

Определяем проекции всех заданных векторов на оси х и у. Складываем проекции всех векторов на эти оси.

R_X = F_1X + F_2X + F_3X + F_4X R_У = F_1У + F_2У + F_3У + F_4У

R_X = ∑F _X R_У = ∑F _У

Проекция векторной суммы или равнодействующей на какую либо ось равна алгебраической сумме проекций векторов.

Модуль (величину) равнодействующей можно найти по известным проекциям:

Направление вектора равнодействующей (рис.3.5)

Рис.3.5

Условия равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме

Исходя из того, что равнодействующая должна быть равна нулю, получим:

Условия равновесия в аналитической форме можно сформулировать так:

Плоская система сходящихся сил находится в равновесии, если алгебраическая сумма проекций всех сил системы на любую ось равна нулю.

Уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил.

В задачах координатные оси выбирают так, чтобы хотя бы одна неизвестная сила совпадала с осью координат.

Пример 1. Определить величины и знаки проекций представленных на рисунке 3.6 сил.

Рис. 3.6

Пример 2. Определить величину и направление равнодействующей плоской системы сходящихся сил аналитическим способом.

Решение

1. Определяем проекции всех сил системы на ось Ох (рис.3.7а)

Рис.3.7а

Сложив алгебраически проекции, получим проекцию равнодействующей на ось Ох.

R_X = F_1X + F_2X + F_3X = 8,7 -20 + 10,6 = - 0,7 кН.

Знак говорит о том, что равнодействующая направлена влево.

3. Определяем проекции всех сил на ось Оу.

F_1У = 10 ∙ cos 60⁰ = 10 ∙ 0,5 = 5 кН;

F_2У = - 20 ∙ cos 90⁰ = 0;

F_3У = - 15 ∙ cos 45⁰ = - 15 ∙ 0,71 = - 10,6 кН.

Сложив алгебраически значения проекций, получим величину проекции равнодействующей на ось Oу.

R_У = F_1У + F_2У + F_3У = 5 – 10,6 = - 5,6 кН

Знак проекции соответствует направлению вниз. Следовательно, равнодействующая направлена влево и вниз. (рис.3.7б)

Рис.3.7 б

3. Определяем модуль равнодействующей по величинам проекций:

R = √ R_Х² + R_У² = √ 0,7² + 5,6² = 5,64 Н

4. Определяем значение угла равнодействующей с осью Ох:

cos α_x = R_X/ R = - 0,7/ 5,64 = - 0,13; α _x = 82⁰30^/

и значение угла с осью Оу:

Контрольные вопросы и задания

1. Запишите выражение для расчета проекции силы F на ось Оу

у

х

^{О 30}

F

2. Определите сумму проекций сил системы на ось Ох

3. Определите величину силы по известным проекциям:

4. Груз находится в равновесии. Какая система уравнений равновесия для шарнира А записана верно?