Тема 1.6. Центр тяжести тела

Иметь представление о системе параллельных сил и центре системы параллельных сил, о силе тяжести и центре тяжести.

Знать методы для определения положения центра тяжести тела и формулы для определения положения центра тяжести плоских фигур.

Уметь определять положение центра тяжести простых геометрических фигур, составленных из стандартных профилей.

Центр параллельных сил и его координаты

Любое тело можно рассматривать, как состоящее из большого числа малых частиц, на которые действуют силы тяжести. Эти силы тяжести направлены к центру Земли по радиусу, то есть образуют систему сходящихся сил, но для тел, размеры которых малы по сравнению с радиусом Земли, можно считать, что приложенные к частицам силы тяжести параллельны и вертикальны. Следовательно, силы тяжести отдельных частиц тела образуют систему параллельных сил. Равнодействующую этих сил называется силой тяжести.

Пусть в точках А и В на тело действуют параллельные силы F и Q, равнодействующая

А С В этих сил - R равна их сумме,

параллельна им, направлена в ту

F α α Q α же сторону, а ее линия действия

делит прямую АВ на части,

R АС Q обратно пропорциональные этим

Рис.8.1 ВС F силам.

Повернем силы F и Q на произвольный угол α, то есть изменим их направление. При этом R останется равной их сумме, параллельной им, опять поделит АВ на части обратно пропорциональные величинам заданных сил.

Точка С – называется центром параллельных сил и ее положение не зависит от направления слагаемых сил.

Центр параллельных сил – называется центром тяжести тела.

Если центр параллельных сил остается неизменным независимо от направления сил, то и центр тяжести тела не меняет своего положения при повороте тела.

Выведем формулы для определения положения центра любой системы параллельных сил.

Пусть задана система параллельных cил F₁ F₂ F₃. Координаты точек приложения этих сил С₁ С₂ С₃ известны. Обозначим точку приложения равнодействующей R буквой С, а

координаты этой точки, являющейся центром заданных параллельных сил будут X_c и Y_c. R = F₁+F₂+F₃ = Σ F_i

Так как положение центра параллельных сил не зависит от их направления, повернем все заданные силы на угол α, так, чтобы они были параллельны оси Y.

Применим теорему о моменте равнодействующей (теорема Вариньона) относительно начала координат (точка О)

M₀(R) = R∙X_c

R∙X_c = F₁∙ X₁+F₂ ∙X₂+F₃ ∙X₃ = ΣF_i ∙ X_i

Х_{с =} F₁ ∙X₁+F₂ ∙X₂+F₃∙X_{3 =} ΣF_i∙X_{i =} ΣF_i∙X_i

R R ΣF_i

Поворачивая по аналогии заданные силы так, чтобы они были параллельны оси Х и пользуясь теоремой о моменте равнодействующей получим формулу для координаты Y_c

У_{с =} F₁ ∙ У₁+F₂ ∙ У₂+F₃ ∙ У_{3 =} ΣF_i ∙ У_{i =} ΣF_i∙ У_i

R R ΣF_i

А положение (координаты) центра пространственной системы параллельных сил определяют по формулам:

Х_{с =} ΣF_i ∙ X_i У_с ΣF_i ∙ У_i Z_c ΣF_i ∙ Z_i

ΣF_i ΣF_i ΣF_i