Контрольная работа по курсу для студентов III курса з/о специальности «Метеорология»

Задание 1. Определить семейство линий тока, а также линию тока, проходящую через точку А (1,1) в момент времени t = 0. Опреде­лить траекторию частицы, которая в момент времени t = 0 нахо­дилась в точке A. Задано поле скоростей: u = xt; v = yt; = 0.

Задание 2. Компоненты поля скорости имеют вид:

, , .

1. Определить, будет ли: а) жидкость несжимаема; б) поток потенциален.

2. Найти составляющие вектора ускорений.

3. Записать вектор ускорения и его модуль.

Задание 3. Составить уравнения вихревых линий, если скорость потока жидкости

, , .

Задание 4. Найти функцию тока, если потенциал скоростей

.

Изобразить на графике линии тока и линии равного потенциала.

Задание 5. Определить, как изменится давление в зависимости от скорости течения несжимаемой жидкости в горизонтальной трубе переменного сечения, если движение установившееся и из мас­совых сил действует только сила тяжести.

Примечание. Использовать интеграл Д. Бернулли.

Задание 6.

1. Записать и доказать свойства осреднения

2. Записать усредненные по Рейнольдсу уравнения движения в форме Навье (в векторном и скалярном видах).

3. Записать интеграл Бернулли. Дать его энергетическую и геометрическую интерпретацию.

Задание 7. Описать и изобразить графически схему возникновения бризов днем и ночью.

Основные понятия математики

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю:

.

, где, как известно, ;

– называют дифференциалом функции .

Действия вычисления производных и дифференциалов функций называется дифференцированием функций.

Геометрический смысл производной ­– тангенс угла наклона касательной, проведенной в данной точке графика функции, к положительному направлению оси абсцисс.

Физический смысл производной – скорость изменения функции.

Правила дифференцирования

1. , где – константа. Производная от константы равна нулю.

2. .

3. . Производная от алгебраической суммы равна той же сумме производных от каждого слагаемого.

4. ; . Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

5. . Производная дроби равна дроби, в числителе которой – разность произведений производной числителя на знаменатель и числителя на производную знаменателя, а в знаменателе – квадрат знаменателя.

6. Если , а , т. е. есть сложная функция, то

7. . Производная произведения равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй без изменения и первого сомножителя на производную от второго сомножителя.

8. – производная произведения нескольких сомножителей.

Примечание. При дифференцировании произведения многих переменных удобнее воспользоваться логарифмическим дифференцированием, а именно, представить

, а затем дифференцировать:

Таблица производных основных элементарных функций

Простые функции	Сложные функции
, – любое действительное число

Вычисление производных от производных функций называется повторным дифференцированием: получаем производные второго, третьего и т. д. порядков.