14.3.5. Оптимизация при наличии ограничений.

Рассмотренные выше экспериментально-статистические методы оптимизаци предусматривают планомерное изменение факторов варьирования (управляющих параметров) , пока не будет достигнут экстремум целевой функции в некоторой точке , т.е. . Однако при оптимизации конкретных технологических процессов и конструкций часто могут встречаться такие комбинации управляющих параметров, которые нежелательны по техническим или экономическим показателям.

Ограничение диапазона варьирования переменных связано, прежде всего, с тем, что в условиях реального технологического процесса (или объекта) наряду с целевой функцией имеется ряд контролируемых выходных параметров (где L = II,III,…,G), также зависящих от k-мерного вектора управляющих воздействий . Обычно аналитическая форма этих зависимостей, как и характер целевой функции , априори неизвестны и значения и в каждой точке факторного пространства могут быть определены только экспериментально. На значения контролируемых входных параметров обычно накладываются ограничения

; L = II,III,…,G, (1)

; L = II,III,…,G.

Входные параметры x_i также имеют ограничения

, i = 1,2,…,k. (2)

Ограничения (1) и (2) выделяют в факторном пространстве область допустимых значений вектора управляющих параметров . На рисунке 27 приведен пример формирования области допустимых значений для двухфакторного процесса.

0

x_1min

x_1max

x₁

x_2min

x_2max

x₂

y_I=const

y_II=const

y_III=const

y_IV=const

y_w=const

D_k

Рис.27. Формирование области допустимых значений

для двухфакторного процесса.

Концентрические кривые показывают линии равных значений целевой функции, т.е. . Так как ограничения (1) задаются в виде неравенства , то в факторном пространстве им тоже соответствуют поверхности равных значений ; L = II,III,…,G (кривые со штриховкой на рис. 27). Поверхности ограничения, пересекаясь, выделяют в факторном пространстве область D_k допустимых значений со сложной конфигурацией.

Экстремальная точка может лежать не только внутри, но и за пределами допустимой области. В этом случае задача сводится к отысканию точки условного экстремума функции у_I на границе области допустимых значений D_k.

Задача оптимизации при наличии ограничений формулируется следующим образом: необходимо найти координаты максимума целевой функции на подмножестве всех , принадлежащих факторному пространству переменных процесса и удовлетворяющих условиям

; ; L = II,III,…,G (3)

т. е. найти .

Применение метода крутого восхождения для решения сформулированной задачи не может привести к положительным результатам, т. к. его алгоритм не учитывает наложенных на вход процесса ограничений. Как правило, при наличии ограничений движение по приходится сочетать с движением вдоль границы.

Рассмотрим процедуру эксперимента для нахождения точки в факторном пространстве двух переменных х₁ и х₂, отвечающую условиям

(4)

(5)

(6)

(7)

Ограничения (5) и (6) наложены непосредственно на значения варьируемых параметров, а ограничения (7) – на значения выходного показателя , которые определяются только из опыта.

На первом этапе поиска проводится полный факторный эксперимент с центром в начальной точке . Он проводится аналогично эксперименту при методе крутого восхождения. Но в отличие от последнего в экспериментальной точке измеряются не только значения целевой функции , но и контролируемого параметра .

Статистическая обработка результатов ПФЭ также выполняется по стандартной схеме, т. е. проверяется воспроизводимость опытов, значимость коэффициентов b₀, b₁, b₂ уравнения регрессии, адекватность линейной модели

(8)

Если при осуществлении факторного эксперимента ни в одной из пробных точек ограничения (5), (6) и (7) не были нарушены, то из центра планирования проводится крутое восхождение в направлении _.

Для того чтобы величина градиента не зависела от скорости возрастания функции в точке , его составляющие следует пронормировать

; (9)

Затем, как обычно, рассчитывается траектория мысленного движения к оптимуму, и в некоторых точках этой траектории (обычно через 2-3 мысленных шага) проводится измерение отклика . При этом обязательно проверяется значение контролируемого параметра .

Крутое восхождение прекращается в следующих случаях

1. Если значение целевой функции проходит через экстремум и начинает убывать (при поиске максимального значения) или возрастать (при поиске минимального значения).

2. Если нарушается ограничение типа (7), тогда для корректировки направления движения ставится новый факторный эксперимент с центром в точке .

За новый центр планирования в первом случае принимается точка, где целевая функция имела экстремальное значение, во втором – последняя из точек факторного пространства, где был реализован мысленный опыт, и еще не нарушалось ограничение (7). Если причиной останова послужило нарушение ограничения (7), то следующий цикл крутого восхождения проводится по компромиссному направлению, которое выбирается таким образом, чтобы точка двигалась в сторону возрастания (или убывания) уровня выхода , одновременно удаляясь от границы внутрь области допустимых значений D_k, т.е.

, (10)

где – вектор, нормальный к эквипотенциальной поверхности (поверхности равного уровня) в точке и ведет в область допустимых значений (рис. 28).

Рис.28. Выбор компромисного направления.

Для формирования вектора наряду с гиперплоскостью (8) находится также уравнение линейной аппроксимации

(11)

и координаты вектора наиболее быстрого возрастания (или убывания) контролируемого параметра в точке .

₍₁₂₎

Если в окрестностях точки нарушается ограничение

,

то вектор направлен внутрь допустимой области, если же нарушено условие

,

то он имеет направление из допустимой области.

Таким образом, после нормирования вектора получаем значение вектора

если если если

Следовательно, координаты искомого вектора будут

.

Далее траектория крутого восхождения находится так же, как и в случае, когда значение целевой функции проходит через точку экстремума. Если совершается движение в направлении или и нарушается условие (5) или (6), то соответствующий компонент вектора или при определении траектории мысленного движения приравнивается нулю и точка начинает двигаться вдоль ограничения.

Если после отбрасывания одной из составляющих и движения вдоль границы точка выходит на ограничение типа (7) или попадает в область, где одновременно выполняются условия (5) и (6), то снова проводится корректировка направления с помощью ПФЭ.

В процессе экспериментальной оптимизации точка не должна подходить к границам типа (5) и (6) ближе величины шага варьирования , т.е. практически вместо неравенств типа (5) и (6) следует использовать неравенства типа

, i = 1,2,…,k

Результатом применения описанной методики могут быть четыре случая, служащих сигналом окончания поиска:

1. В одном из очередных экспериментов , т. е. точка находится в окрестностях явного экстремума целевой функции.

2. и вектор . Этот случай соответствует условному экстремуму y_i на границе типа (7)

3. В некоторой точке нарушаются оба условия (5) и (6) и вектор ведет из допустимой области (условный экстремум находится в углу допустимой области)

4. После корректировки направления и точек, где одновременно нарушались ограничения (5), (6) и (7) уровень выхода y_I начинает уменьшаться (или увеличиваться). Условный экстремум находится в углу допустимой области Эти четыре случая указывают на то, что экстремальное значение целевой функции достигнуто. Однако в связи с тем, что при описанном выше алгоритме метода возможен выход на локальный экстремум, рекомендуется повторить поиске новой исходной точки.