14.3. Поиск оптимума

Основной целью экстремальных экспериментов является нахождение наилучших (оптимальных) решений по выбранному критерию (параметру оптимизации). Для этого задается некоторый критерий оптимизации в виде целевой функции y, зависящий от управляемых параметров (факторов варьирования)

.

Задача оптимизации сводится к отыскиванию таких значений параметров , при которых целевая функция достигает экстремума (максимума или минимума). Будем считать оптимальным максимальное значение параметра оптимизации. Зависимость образует некоторую поверхность в (k+1) мерном пространстве , которую называют поверхностью отклика, а значение y в точках факторного пространства – откликом.

Если бы поверхность отклика можно было описать в аналитической форме в виде приведенной функции, то координаты точки экстремума можно найти, решив систему дифференциальных уравнений вида

, где i = 1,2,…,k.

Решением системы является экстремальная точка (или «стационарная точка»), в которой градиент функции у обращается в нуль

,

где – направляющий вектор координатной оси x_i.

Однако в большинстве случаев экспериментальных исследований аналитическая функция «у» неизвестна. Исследователь имеет возможность только экспериментально получить значение отклика при некоторой комбинации варьируемых факторов . Полученное экспериментально значение отклика y_э всегда содержит случайную ошибку, т.е. оно будет отличаться от истинного значения y_i на величину случайной ошибки опыта

.

Таким образом, задача оптимизации может быть решена двумя методами.

1) Каким-либо способом строиться математическая модель и задача решается аналитически или численным способом.

2) Поиск экстремальной («стационарной») точки в факторном пространстве проводится экспериментально. При этом осуществляется локальное изучение поверхности отклика по результатам ряда экспериментов, специально спланированных вблизи выбранной точки. Экспериментальное значение отклика находится путем многократной исследовательской процедуры изучения поверхности отклика и продвижения в факторном пространстве. Для движения к оптимуму широко используется шаговый принцип, при котором строится математическая модель поверхности отклика и движение по факторному пространству осуществляется шагами с периодической оценкой правильности направления движения. Предполагается, что поверхность отклика гладкая, непрерывная и на ней имеется единственный оптимум. В этом случае, проводя ряд экспериментов, можно установить направление дальнейшего движения к оптимуму.

Известны несколько методов экспериментального поиска оптимума, различающихся способом определения направления движения и организацией самого движения. Рассмотрим наиболее широко применяемые экспериментальные методы.

14.3.1. Метод Гаусса-Зайделя

Этот метод базируется на принципе покоординатного восхождения, когда факторы изменяются поочередно и последовательно ищут локальные оптимумы на каждой из координат. Переход к новой (i+1) координате совершаются по достижении частного экстремума целевой функции у на предыдущем направлении, например, в точке Х_h, в которой

.

Найдя частные экстремумы по всем координатам , снова переходят к варьированию первой (x₁), второй (x₂) и т.д. до (x_k) координат.

Характерной особенностью процесса является продолжительная стабилизация всех факторов, кроме одного, по которому происходит движение, на определенном уровне, т.е. фактически реализуется однофакторный эксперимент.

Направление движения вдоль (i+1)-й координатной оси выбирается по результатам двух пробных экспериментов и в окрестностях базовой точки частного экстремума по предыдущей i-й переменной.

Рассмотрим процедуру (алгоритм) поиска оптимума методом Гаусса-Зайделя на примере 2-х факторного процесса (рис.19).

0

10

20

30

40

50

60

70

X₁

X₂

x_1,1

x_2,1

0

X_k

Рис.19. Метод Гаусса-Зайделя для 2-х факторного процесса

1. Определяются координаты начальной точки X₁ движения к оптимуму (на основании априорной информации).

2. Задается шаг варьирования по каждой независимой переменной (фактору) .

3. Для установления направления движения в первом цикле (вдоль оси X₁) выполняются пробные эксперименты, пробное движение с центром в начальной точке X₁(h^*=1) вариацией параметра X₁ на и , т.е. выполняется два пробных шага в точке

;

.

Производится измерение откликов и в этих точках.

4. Отклики в пробных точках сравниваются и устанавливается характер изменения отклика.

5. Реализуется 1-й цикл рабочего движения с шагом в направлении возрастания отклика , т.к. ищется область максимума. Координаты последовательных точек этого движения будут

,

где .

6. После каждого рабочего шага (эксперимента) проводится измерение значения отклика

7. 1-й цикл шагового движения прекращается по достижении в некоторой точке частного экстремума целевой функции по соответствующей переменной.

.

Критерием останова служит выполнение неравенства

.

8. Точка принимается за исходную для следующего цикла рабочего движения (по оси ) и базовой для новых пробных экспериментов в точках

;

.

Если в пробном движении по i-й переменной оба шага окажутся неудачными, т.е. ; то переходят к варьированию следующим (i +1) параметром.

9. Дальнейшая процедура выбора направления и организация II-го, III-го (вновь по оси ) и дальнейших циклов движения аналогична описанному выше. Точка x в факторном пространстве занимает при этом последовательно следующие положения (координаты)

,

,

…………………….

,

или

.

10. После 2-го цикла рабочего движения переходят к третьему (вновь по ) и т.д. Поиск прекращается в точке , любое движение из которой приводит к уменьшению значения выходного параметра. Это будет точка экстремума целевой функции с точностью до максимального шага варьирования .