14.2. Построение линейных планов полного и дробного факторного экспериментов

При линейных моделях оценку влияния каждого фактора можно получить, если значение фактора изменяется только на 2-х уровнях.

14.2.1. Полный факторный эксперимент (пфэ)

Эксперимент, в котором реализуются все возможные сочетания уровней факторов, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Число возможных сочетаний

,

где m – число уровней факторов,

k – число факторов.

Для линейной модели достаточно двух уровней, тогда

.

Факторный эксперимент осуществляется с помощью матрицы планирования с кодированным значением факторов. Для построения матрицы могут использоваться два способа.

1. Последовательное достраивание матрицы. Для этого при добавлении нового фактора необходимо повторить комбинацию уровней исходного плана сначала при значении нового фактора на верхнем, а затем на нижнем уровне.

2. Способ, основанный на том, что у 1-го фактора уровни варьируются поочерёдно (по одному); у второго – по 2, у третьего – по 4, у четвёртого – по 8 и т.д. с коэффициентом 2, т.е. соблюдается правило чередования знаков. В первом столбце матрицы знаки меняются поочерёдно, во втором – чередуются через 2, в третьем – через 4, в четвертом – через 8 и т.д. (соответственно возрастанию степени числа 2).

Таблица 9

Матрица планирования ПФЭ-2⁴

№ опыта, j	Факторы					yj
	x0	x1	x2	x3	x4
1	+	+	+	+	+		y1
2	+	–	+	+	+		y2
3	+	+	–	+	+		y3
4	+	–	–	+	+		y4
5	+	+	+	–	+		y5
6	+	–	+	–	+		y6
7	+	+	–	–	+		y7
8	+	–	–	–	+		y8
9	+	+	+	+	–		y9
10	+	–	+	+	–		y10
11	+	+	–	+	–		y11
12	+	–	–	+	–		y12
13	+	+	+	–	–		y13
14	+	–	+	–	–		y14
15	+	+	–	–	–		y15
16	+	–	–	–	–		y16

x₀ – фиктивная переменная для оценки свободного коэффициента «b₀» (одинаковая во всех строчках и равная +1).

Задача ПФЭ состоит в том, чтобы составить уравнение регрессии. Для ПФЭ типа 2³ уравнение регрессии с учётом эффектов взаимодействия имеет вид

.

где b₁, b₂, b₃ – коэффициенты, характеризующие линейные эффекты;

b₁₂, b₁₃, b₂₃, b₁₂₃ – коэффициенты, характеризующие эффект взаимодействия факторов.

Коэффициенты «b» и знак в уравнении регрессии указывают на вклад данного фактора в общие результаты, при переходе с нулевого на верхний или нижний уровень фактора.

Линейным называется эффект, характеризующий линейную зависимость параметра оптимизации от соответствующего фактора. Эффект взаимодействия характеризует совместное влияние нескольких факторов на параметр оптимизации или, другими словами, отражает силу влияния одного из факторов в зависимости от уровня, на котором находится другой фактор.

С помощью ПФЭ можно определить все линейные эффекты и эффекты взаимодействия факторов независимо друг от друга, т.к. общее число эффектов 2^k равно количеству коэффициентов «b» уравнения регрессии.

Для определения эффектов взаимодействия нужно построить расширенную матрицу ПФЭ.

Таблица 10

Расширенная матрица ПФЭ типа 2³

№ опыта, j	Факторы и их взаимодействия									yj
	x0	x1	x2	x3	x1x 2	x1x 3	x2x 3	x1x2x 3
1	+	+	+	+	+	+	+	+	y1
2	+	–	+	+	–	–	+	–	y2
3	+	+	–	+	–	+	–	–	y3
4	+	–	–	+	+	–	–	+	y4
5	+	+	+	–	+	–	–	–	y5
6	+	–	+	–	–	+	–	+	y6
7	+	+	–	–	–	–	+	+	y7
8	+	–	–	–	+	+	+	–	y8

В факторном пространстве ПФЭ типа 2² графически можно интерпретировать квадратом, типа 2³ – кубом (рис.18). Для числа факторов больше трех – гиперкубом, который графически не изображается.

0

0

(– +)

(+ +)

(– –)

(+ –)

x₁

x₁

x₂

x₂

x₃

(+ –+)

(– – +)

(– + +)

(+ + +)

(+ – –)

(+ + –)

(– + –)

(– – –)

а) б)

Рис.18. Графическая интерпретация полного факторного эксперимента:

а) ПФЭ –2²; б) ПФЭ – 2³; 0 – центр эксперимента.