13.4. Метод наименьших квадратов

Метод нулевых средних отклонений не даёт единственного решения, т.к. его результаты зависят от способа группирования экспериментальных данных. Это вызывает некоторую неопределённость. Указанного недостатка лишён метод наименьших квадратов. Суть его заключается в том, что если все измерения функции проведены с одинаковой точностью и ошибки измерений распределяются по нормальному закону, то параметры выбранного аппроксимирующего уравнения однозначно определяются из условия.

,

т.е. сумма квадратов отклонении измеряемых значении от расчетных принимает наименьшее значение.

При этом получается только одно решение (формула) – лучшая из всех возможных.

Некоторый недостаток метода наименьших квадратов состоит в том, что он трудоёмок при большом числе начальных уравнений.

Рассмотрим сущность метода наименьших квадратов на примере, когда экспериментальные данные аппроксимируются полиномом 3-й степени , а их количество m >> 4. Тогда для каждой точки

, ,

где y_i – значение функции для аргумента x_i, рассчитанное по аппроксимирующему полиному;

y_iэ – экспериментальное значение функции при аргументе x_i;

ε_i – отклонение экспериментального (измеренного) значения функции от расчетного при аргументе x_i.

Подставив экспериментальные значения х_iэ и у_iэ в выбранное уравнение и возведя в квадрат правые и левые части, получаем

.

Просуммируем левые и правые части приведённой выше системы уравнений

Если переменными величинами считать коэффициенты b₀, b₁, b₂, b₃, то условие минимума приведённого выражения будет

Возьмём частные производные по b₀, b₁, b₂, b₃

Последние уравнения называются нормальными. Их можно записать по-другому. Для этого раскроем скобки каждого уравнения и просуммируем слагаемые с одинаковыми коэффициентами. После преобразований получаем

Таким образом, имеется 4 нормальных уравнения для нахождения 4-х неизвестных коэффициентов, т.е. по отношению к коэффициентам «b» имеем систему линейных уравнений. Для полинома 2-й степени система нормальных уравнений имеет следующий вид.

Соответственно для прямой линии имеем 2 уравнения с 2-мя неизвестными b₀, b₁.

Пример

m = 6, n = 1

Таблица 8

№	1	2	3	4	5	6
x	0,5	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0
y	0,62	1,64	2,58	3,70	5,02	6,04

Графическая обработка экспериментальных данных показала, что они могут быть аппроксимированы прямой линией . Составим нормальные уравнения.

Тогда

Решаем эту систему относительно b₀, b₁, получим b₀ = –0,57, b₁ = 2,192, т.е.

Обработка результатов эксперимента по методу средних отклонений даёт уравнение прямой следующего вида:

Если результаты эксперимента аппроксимировать параболой 2-й степени, то её уравнение будет