13.3. Метод средних отклонений

Метод средних отклонений основан на следующем положении. По экспериментальным данным (точкам) можно построить множество плавных, кривых. Наилучшей будет та кривая, у которой сумма разностных отклонений будет равна нулю, т.е.

.

Порядок расчёта коэффициентов полинома состоит в следующем.

Экспериментальные данные изменения «у» от «х» заносят в таблицу, строится диагональная таблица тех разностей, которые можно принять постоянными. Например, для семи экспериментальных точек диагональная таблица разностей имеет следующий вид.

x	y

Определяется число ряда и степень полинома «n». Обычно берётся n = 3...4. В принятый полином последовательно подставляются координаты х и у нескольких экспериментальных точек (m). Получают систему из «m» уравнений, линейных относительно неизвестных коэффициентов «b». Каждое уравнение приравнивается соответствующему отклонению ε, которое представляет собой разность между экспериментальным и расчётным значением «у» (рис. 16). Число точек «m» должно быть больше степени полинома «n», т.к. иначе система уравнений не решается. Если m значительно больше n, то сначала разбивают все уравнения на n+1 группы по мере увеличения переменной х. В каждой группе складывают уравнения и получают новую систему уравнений, равную n+1 групп.

.

y

x₁

0

x

x₂

x₃

x_m-1

x_m

ε₁

ε₂

ε₃

ε_m-1

ε_m

y=f(x)

y₁

y₂

y₃

y_m-1

y_m

Рис.16. Экспериментальные точки и аппроксимирующая кривая

Решая систему линейных уравнений, определяют коэффициенты «b» аппроксимирующего полинома. Метод средних обладает высокой точностью при большом числе точек (m > 4).

Пример

Таблица 6

x	4		5			6			7			8			9			10
yэ	8,8		6,5			4,8			3,6			2,7			2,1			1,7
		2,3			1,7			1,2			0,9			0,6			0,4
			0,6			0,5			0,3			0,3			0,2
				0,1			0,2			0			0,1
y	8,71		6,6			4,87			3,54			2,59			2,04			1,88

Выбираем полином второй степени

.

Разбиваем систему из 7 уравнений на 3 группы, считая, что внутри групп также действует принцип

,

где к - количество уравнений в группе.

Тогда, суммируя уравнения в каждой группе, получаем систему из 3-х уравнений с 3-я неизвестными коэффициентами b₀, b₁, b₂.

		– 1-я группа, – 2-я группа, – 3-я группа.
или

Решая уравнения относительно коэффициентов b₀, b₁, b₂ и подставляя их значения в выбранный полином, получаем

.

Результаты расчета значений «y» по аппроксимирующему полиному приведены в таблице 6.

Метод средних может также быть применён для различных кривых после их выравнивания (спрямления).

Пример

Таблица 7

x	3	6	9	12	15	18	21	24
yэ	57,6	41,9	31,0	22,7	16,6	12,2	8,9	6,5
y	57,29	42,01	30,81	22,59	16,5	12,15	8,91	6,53

Анализ представленной в виде таблицы зависимости в прямоугольной системе координат дает возможность аппроксимировать ее зависимостью

,

или

,

где , ,

Так как необходимо определить только 2 параметра (А, b), то все результаты измерений делим на 2 группы:

I-я группа		II-я группа
1. ;		5. ;
2. ;		6. ;
3. ;		7. ;
4.		8.

Решая систему из двух уравнений, получаем ,   , тогда .

Расчетные значения y приведены в табл.7.