13. Графическая обработка результатов эксперимента

13.1. Общие положения

Для графической обработки результатов эксперимента используют, как правило, прямоугольную систему координат. Качественные закономерности и форма графика часто экспериментатору бывают известны из теоретических исследований или предыдущих опытов. Это облегчает графическую обработку. Через нанесенные точки проводят плавную кривую, наиболее близко подходящую к экспериментальным точкам. Резко выпадающие точки считают грубыми ошибками, но для этого заключения требуется тщательный анализ причин таких отклонений результатов эксперимента.

Зависимости типа изображаются на плоскости, типа – в пространстве или на плоскости нескольких кривыми, типа – в пространстве несколькими поверхностями.

Выбор координатных сеток определяется характером экспериментальной кривой. Они могут быть равномерными и неравномерными. Важным моментом является выбор масштаба по координатным осям, т.к. от масштаба зависит форма графика (рис. 13). Из-за неправильного выбора масштаба могут быть большие погрешности в построении и результатах анализа графиков.

0

х

у

1

2

3

4

Рис.13. Зависимость формы экспериментальной кривой от масштаба координатных осей:

1 – нормальный масштаб по х и у; 2 – малый масштаб по x;

3 – малый масштаб по y; 4 – малый масштаб по x и y.

Графики с экстремальными точками или резкими изменениями необходимо в этих точках строить очень тщательно.

Для облегчения расчётов по сложным формулам строятся номограммы. Построение номограмм – операция трудоёмкая, поэтому для расчётов более целесообразно применение ЭВМ.

Из неравномерных координатных сеток в технологии машиностроения наибольшее распространение получили полулогарифмические, логарифмические и вероятностные сетки.

Полулогарифмические сетки имеют равномерную ординату и логарифмическую абсциссу. Логарифмические координатные сетки имеют обе оси логарифмические; вероятностная сетка обычно имеет равномерную ординату и вероятностную шкалу по абсциссе.

13.2. Методы подбора эмпирических формул

Эмпирические формулы – это приближенные значения аналитических формул или формулы, описывающие закономерности результатов эксперимента.

На основании экспериментальных данных можно подобрать алгебраическое выражение функции

,

которое называется эмпирической формулой в пределах измеренных значений аргументов х₁…х_n.

Замену точных выражении приближенными, более простыми называют аппроксимацией, а сами функции – аппроксимирующими. Они имеют ограниченную область применения, которая не должна выходить за пределы опытных данных, т.е. по ним надёжно можно проводить только интерполяцию, но не экстраполяцию.

Процесс подбора эмпирических формул состоит из следующих этапов.

1. Данные измерений наносят на сетку прямоугольных координат; по экспериментальным точкам проводят плавную кривую и выбирают ориентировочно вид формулы.

2. Вычисляют параметры формулы, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле и результатам измерений.

Подбор необходимо начинать с уравнения прямой линии

,

где b₀, b₁ – постоянные коэффициенты.

Оно представляет собой простое выражение. Поэтому при анализе графического материала необходимо по возможности использовать линейную функцию. Если в равномерных координатах экспериментальные данные ложатся в виде кривой, то применяют метод выравнивания, т.е. кривую представляют в виде линейной функции

,

где ; , т.е. новые оси координат имеют не равномерную, а функциональную сетку.

Далее строят прямую в координатах «X-Y», по которой вычисляют параметры b₀, b₁ (рис.14).

(или Y_i при X = 0)

.

Y

X

X_i

0

α

ε₁

ε₂

ε_i

ε_n

Y_i

b₀

Рис.14. Выравнивание нелинейной зависимости с помощью функциональных осей координат

Прямую целесообразно проводить, используя метод наименьших квадратов, т.е. для лучшей прямой сумма квадратов отклонений ε_i от прямой должна быть наименьшей

.

Для облегчения и упрощения расчётов часто используется метод нулевых средних, когда

.

Когда экспериментальная кривая на равномерной сетке прямоугольных координат имеет плавный вид, целесообразно использовать графический метод выравнивания.

Рассмотрим некоторые характерные кривые, их функциональные зависимости и способы выравнивания. На рис.15 представлены 4 вида кривых. Кривые вида 1 могут быть аппроксимированы зависимостью

.

Логарифмируя правую и левую часть, получаем

.

Или в новой системе координат

,

где , , т.е. на двойной логарифмической сетке будет прямая линия, у которой

.

y

x

1

y

x

2

3

4

a

2,5

1,25

0

20

40

60

80

Рис.15. Характерные кривые для графического выравнивания

Однако графическое выравнивание (спрямление) с помощью логарифмических сеток можно использовать, когда значение аргумента X > 0 и X ≠ 1.

Пример: В результате эксперимента получены следующие данные

x	10	20	30	40	50	60	70	80
yэ	1,06	1,36	1,51	1,71	1,78	1,92	2,00	2,11
y	1,06	1,33	1,52	1,68	1,81	1,92	2,02	2,11

где y_э – экспериментальные значения;

y – расчётные значения по зависимости

.

Приведённая зависимость получена следующим образом. На график в равномерной системе координат «х-у» наносятся экспериментальные точки «х-у_э». Проводят визуальную графическую обработку и определяют значение двух крайних точек у. Для нахождения параметров а и b составляют и решают систему уравнений

или ,

откуда b = 0,331, а = 0,4945.

Кривая 2 может быть аппроксимирована зависимостью

.

После логарифмирования получаем

,

или ,

т.е. спрямление реализуется в полулогарифмической системе координат (логарифмическая сетка по оси Y и равномерная – по х).

Пример:

x	1,0	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0	4,5
yэ	15,2	20,8	27,2	36,8	49,0	66,3	87,1	117,5
y	15,20	20,36	27,27	36,52	48,91	65,51	87,74	117,5

Система уравнений по двум крайним точкам, полученным после графической обработки экспериментальных данных.

или ,

т.е. b = 0,5843, а = 8,475, .

Кривые типа 3 аппроксимируются зависимостью

.

Замена даёт прямую линию на сетке прямоугольных координат (y-X)

.

Кривые типа 4 аппроксимируются зависимостью

.

Изменяя сетку по оси «у» на , получаем прямую линию в системе координат «х-У» , т.е. по оси х сетка не изменяется

.

При подборе эмпирических формул широко используется полином типа

,

где b₀, b₁, b₂ ... b_n – постоянные коэффициенты.

Полиномами можно аппроксимировать любые результаты измерений, если они графически выражаются непрерывными функциями.

Для определения коэффициентов «b», кроме графического метода, применяют также метод средних отклонений и метод наименьших квадратов. Рассмотрим более подробно эти методы.