11.4. Минимальное количество измерений

Для проведения опытов с заданной точностью и достоверностью в определенных условиях можно определить минимальное, но достаточное для данных условий количество измерений. Другими словами, задача ставится таким образом: задано значение доверительного интервала 2μ и доверительной вероятности P_D; необходимо определить минимальное число измерений (выборки) N_min, обеспечивающее заданное P_D и 2μ.

Относительную точность измерения для малых выборок можно оценить величиной

.

Минимальное количество экспериментов (измерений), гарантирующее требуемое значение μ (ΔX) и P_D определяется из соотношения

,

откуда

,

где – коэффициент Стьюдента, который находится по таблице в зависимости от P_D (или α = 1 – P_D) и числа степеней свободы f = N – 1, т.е. величины σ и зависят от N. Поэтому, по приведенной выше формуле нельзя сразу определить минимальное количество измерений. Задача решается в несколько этапов. Вначале проводят предварительный эксперимент с небольшим количеством измерений (N₁ = 5...10), определяют σ и задаются точностью измерений, т.е. полем допуска 2μ (или ±ΔX). Принимают доверительную вероятность P_D, по которой находят табличное значение коэффициента Стьюдента и рассчитывают минимальное количество измерений N. Если N₁ ≥ N, то объем выборки принимается равным N₁. При N₁ < N проводится (N – N₁) дополнительных экспериментов. Они обрабатываются с результатами ранее выполненных экспериментов, и процедура расчета повторяется.

Минимальное количество экспериментов можно также определить через коэффициент вариации K_B и коэффициент K, который показывает долю допустимой ошибки от среднеарифметического значения величины (выбирается из практических соображений).

или ; или .

Так, например, при испытаниях стойкости режущих инструментов принимают K = 0,2. Тогда формула для определения минимального количества экспериментов принимает вид

.

Как видим, с уменьшением K (т.е. с увеличением точности эксперимента) объем испытаний должен быть увеличен.

В случае (практически при N > 30) кривые распределения Стьюдента переходят в кривые нормального распределения, и расчет ведется по формулам с аргументом функции Лапласа t (гарантийный коэффициент). Он зависит от точности измерений и принимается равным t = 3 – при малой точности, t = 2 – при большой точности.

11.5. Исключение грубых ошибок.

Существует несколько методов определения грубых ошибок. Наиболее надежными являются методы, основанные на использовании доверительного интервала. Они применимы в случаях, когда погрешности измерений подчиняются нормальному закону распределения. Наиболее простой из этих методов основан на использовании правила трех сигм, т.е. разброс случайной величины от ее среднего значения не должен превышать ±3σ.

В статистическом ряде малой выборки (N ≤ 30), подчиняющемся закону нормального распределения, грубые ошибки могут быть исключены с использованием критериев Груббса, которые определяются по следующим зависимостям:

; ,

где X_max, X_min – максимальное и минимальное значение результатов N измерений.

Расчетные значения β₁ и β₂ сравнивают с табличным значением β_max для принятой доверительной вероятности P_D. Если β₁ или β₂ больше β_max , то результат этого опыта исключается. Такая процедура повторяется до тех пор, пока не будет достигнуто неравенство

; .

Значения критерия Груббса β_max приведены в табл.8 приложения.

Для приближенной оценки и «отсева» грубых ошибок можно применить следующую процедуру:

1. вычислить среднеквадратическое отклонение – σ,

2. определить ,

3. принять доверительную вероятность P_D, найти по таблице коэффициент Стьюдента и определить доверительный интервал ,

4. определить действительное значение измеренной величины ; результаты измерений, выходящие за пределы значений X_D, отбрасываются как грубые ошибки.

В случае более глубокого анализа результатов измерений (экспериментальных данных) рекомендуется следующая последовательность действий:

1. экспериментальный статистический ряд анализируется и исключаются систематические ошибки;

2. анализируют ряд на грубые ошибки и промахи, для чего устанавливают значения X_max, X_min, определяют среднеквадратическое отклонение σ, вычисляют критерии β₁, β₂ и сопоставляют с табличными β_max, исключают при необходимости X_max, X_min и получают новый (очищенный) ряд;

3. вычисляют среднее арифметическое , погрешность отдельных измерений и среднеквадратическое отклонение σ очищенного ряда;

4. находят серии измерений и коэффициент вариации ;

5. при большой выборке (N > 30) задаются величиной P_D и по таблице функции Лапласа находят t; при малой выборке (N ≤ 30) в зависимости от принятого P_D и количества измерений находят коэффициент Стьюдента ;

6. определяют доверительный интервал по формулам – для большой выборки, – для малой выборки; у

7. устанавливают действительное значение измеряемой величины или ;

8. оценивают относительную погрешность (%) результатов серии измерений при заданной доверительной вероятности или .

Пример. Имеется статистический ряд из 18 измерений стойкости T, мин.

№ изм.
1	67	-7,83	61,3089
2	67	-7,83	61,3089
3	68	-6,83	46,6489
4	68	-6,83	46,6489
5	69	-5,83	33,9889
6	70	-4,83	23,3289
7	71	-3,83	14,6689
8	73	-1,83	3,3489
9	74	-0,83	0,6889
10	75	0,17	0,0289
11	76	1,17	1,3689
12	77	2,17	4,7089
13	78	3,17	10,0489
14	79	4,17	17,3889
15	80	5,17	26,7289
16	81	6,17	38,0689
17	82	7,17	51,4089
18	92	17,17	294,8089
		-46,50 +46,50	=736,5002

Вначале необходимо проверить, нет ли грубых ошибок (по β_max).

;

; ; .

По таблице 8 при P_D = 0,99 и N = 18 находим , т.е. . Значит измерение 92 не является грубой ошибкой.

При P_D = 0,95 , т.е. ; измерение 92 следует исключить.

Если применить правило 3σ, т.е. P_D = 0,9973, то , т.е. измерение следует оставить. После исключения размера 92 , ; . При N = 18, .

Найдем минимально необходимое количество измерений для P_D = 0,95 и двух заданных точностей ΔХ = 3 и ΔХ = 5. Из предварительной серии N₁ = 18 опытов определяем σ = 6,58, по таблице находим . Тогда при ΔХ = 5,

При ΔХ = 3, .

Таким образом, для обеспечения точности ΔХ = 5 N₁ > N и дополнительных экспериментов проводить не требуется. Для повышения точности (ΔХ = 3) требуется увеличение количества параллельных опытов.

Если X₁₈ = 92 считать грубой ошибкой и исключить из рассмотрения, то для N₁ = 17, σ = 5,15, (P_D = 0,95). Тогда минимальное количество опытов , т.е. N > N₁ и дополнительных экспериментов проводить не нужно. Действительное значение измеренной величины будет .

Относительная погрешность результатов измерений после исключения грубой ошибки (92 мин) (N₁ = 17) , а с ошибкой (N₁ = 18) .