11.3. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Доверительным интервалом называется интервал значений величины X_i, в который попадает истинное значение X_D измеряемой величины с заданной вероятностью.

Доверительной вероятностью (достоверностью) измерения называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины X_D попадет в данный доверительный интервал

;

Доверительный интервал характеризует точность измерения данной выборки, а достоверная вероятность – ее достоверность.

Достоверность измерения показывает степень доверия к результатам измерения или вероятность отклонения результатов измерения от действительного значения измеряемой величины.

Доверительная вероятность (достоверность) оценивается в долях единицы и описывается выражением

где , – значение интегральной функции Лапласа при значении аргумента t (гарантийного коэффициента), равного t₁ и t₂ соответственно.

Коэффициент t определяется выражением

,

где μ – характеристика точности, которая оценивается величиной половины поля допуска (т.к. сравнение ведется с σ, а не с 2σ). При симметричных верхних и нижних отклонениях , тогда

Доверительная вероятность, гарантийный коэффициент и текущее значение измеряемой величины X связаны между собой интегралом вероятности (интегралом Лапласа)

.

Численные значения интегральной функции Лапласа для некоторых значений гарантийного коэффициента t приведены в табл.5 и на рис.10.

x

φ(t)

0

2σ

2σ

σ

σ

3σ

3σ

t=1

t=2

t=3

Рис.10. Значение интеграла вероятности при различных значениях гарантийного коэффициента.

Таблица 5

Значения интегральной функции Лапласа

t	0,5	1,0	1,25	1,5	2,0	2,5	3,0	4,0
φ(t)	0,3829	0,6827	0,7887	0,8664	0,9545	0,9876	0,9973	0,9999

Следует иметь в виду, что таблицы интеграла вероятности могут составляться по-разному. В одних таблицах значение интеграла вероятности приводится как удвоенная площадь под одной из ветвей симметричной кривой (в пределах от 0 до t), в других – для одностороннего интервала (т.е. ).

Величина характеризует вероятность того, что измеренная величина выйдет за пределы , т.е. не попадет в установленный интервал.

Таким образом, с помощью интеграла вероятности можно решать две задачи:

1. определять доверительную вероятность (достоверность) известной точности измерений 2μ (прямая задача),

2. определять необходимую точность (поле допуска) по принятой доверительной вероятности – P_D (обратная задача).

Пример. Необходимо определить достоверность измерений для доверительного интервала μ = ±70 мкм при σ = 31 мкм. Для этого определяем значение

.

Затем по таблице функции Лапласа находим значение P_D = 0,976 (при t = 2,26). Это означает, что из 100 измерений в заданный интервал попадет 97 измерений, не попадет 3 измерения.

Величину называют уровнем значимости. Из этого выражения следует, что при нормальном законе распределения погрешность, превышающая доверительный интервал, будет встречаться 1 раз из N_u измерений

,

т.е. приходится браковать 1 из N_u измерений.

При P_D = 0,9 это 1 из 9 измерений

P_D = 0,95 – 1 из 19 измерений

Р_D = 0,9973 - 1 из 367 измерений.

Обратная задача. Если на основе экспериментальных данных установлена доверительная вероятность P_D (в машиностроении ее обычно принимают равной 0,9; 0,95; 0,9973), то можно установить необходимую точность измерений (или доверительный интервал 2μ, т.е. поле допуска). Для больших выборок (N > 30) расчет ведется на основе соотношения

Половина доверительного интервала определяется выражением

,

где аргумент функции Лапласа при N > 30.

Для малых выборок (N ≤ 30) границы доверительного интервала рассчитываются по методу Стьюдента (псевдоним английского математика У.Госсета).

,

где – коэффициент Стьюдента.

Зная μ_cm, можно определить действительное значение искомой величины для малой выборки с принятой доверительной вероятностью

.

Возможна иная постановка задачи: по количеству измерений малой выборки (N) определить доверительную вероятность P_D при условии, что погрешность заданного значения не выйдет за пределы . Задача решается в такой последовательности.

1. Вычисляют среднее значение .

2. Вычисляют значение σ и по формулам

; .

3) Находят коэффициент Стьюдента

.

4) По и количеству измерений N по таблице находят значение P_D, используя линейную интерполяцию.

Пример. Проведены измерения длины 63 образцов (N > 30) и получены следующие результаты: = 720 мм, среднеквадратическое отклонение σ = ± 0,4 мм. При гарантийном коэффициенте t = 1, и φ(t) = 0,683, т.е. из 1000 измерений 683 попадают в установленный доверительный интервал (317 – выходят за его пределы). При t = 3, , X = 720 ± 1,2 мм, φ(t) = 0,9973, т.е. из 1000 измерений 997 попадет в данный доверительный интервал. В машиностроении гарантийный коэффициент обычно колеблется в пределах от 2 до 3.

Если при обработке деталей величину доверительного интервала принять за допускаемую погрешность (допуск ), то уменьшая допуск, мы снижаем надежность обработки, увеличивая вероятность появления брака. Наоборот, понижение требований к точности обработки увеличивает надежность и уменьшает процент брака.

Пример. Установить границы доверительных интервалов по результатам измерений 5 и 10 деталей для P_D = 0,95 и P_D = 0,995.

di, мм	14,85	14,80	14,84	14,81	14,79
di, мм	14,81	14,85	14,80	14,84	14,80

Сначала используем первые 5 измерений

;

.

Для P_D = 0,95 и N = 5 по таблице находим значение = 2,78. Тогда абсолютная погрешность результатов измерений для N = 5 будет

.

Т.е. результаты измерений можно представить в виде

d = 14,82 ± 0,03 мм.

При этом учтено, что погрешность микрометра 0,01 мм меньше полученной абсолютной погрешности измерений. Относительная погрешность

.

Для P_D = 0,995 и N = 5, = 5,6 тогда

, т.е.

и .

Как видим, для повышения надежности с P_D = 0,95 до P_D = 0,995 необходимо расширить границы доверительного интервала в 2 раза.

Для всех 10 измерений имеем

; ; .

Тогда

для P_D = 0,95, = 2,26; ΔX = 0,0170,02 мм; d = 14,82 ± 0,02 мм; δ = ± 0,13%;

для P_D = 0,995, = 3,69; ΔX = 0,0270,03 мм; d = 14,82 ± 0,03 мм; δ = ± 0,2%;

Таким образом, с увеличением числа измерений абсолютная и относительная погрешность уменьшается. Для N = 10 она в 2 раза меньше, чем для N = 5 при P_D = 0,995.