11.2. Представление результатов параллельных измерений.

Результаты параллельных измерений удобно представлять в виде ряда распределения, для чего их разбивают на равномерные интервалы, которые называются «бинами», и располагать в порядке возрастания или убывания измеряемой величины с указанием соответствующих частот или частостей.

Частота (m_i) – это количество результатов измерений (эксперимента), попавшие в данный интервал (бин).

Частость (p_i) – отношение частоты к объему всей выборки

.

Число интервалов (бинов) существенно влияет на характер графика распределения. Поэтому очень важно правильно выбрать число бинов. График будет лучше отражать распределение погрешностей (более информативным), если в каждый бин попадет несколько результатов измерения. С увеличением объема выборки (N) необходимо увеличивать количество бинов, т.е. делать интервалы разбивки более узкими. Ширина интервала

,

где X_max, X_min - максимальное и минимальное значение измеряемой величины в выборке, ω – поле рассеяния, n – число бинов.

Ширина интервала выбирается постоянной. Число бинов, рекомендуемое для данного числа измерений, можно определить по табл.2, составленной на основании накопленного опыта.

Таблица 2

Рекомендации по выбору числа бинов

Число измерений, N	40…100	100…500	500…1000	1000…10000
Число бинов, n	6…9	8…12	10…16	12…24

После определения количества бинов рассматривают каждое число выборки, адресуют его в соответствующий бин и суммируют количество измерений в каждом бине.

Далее подсчитывают частоты или частость для каждого интервала и наносят эти данные на график в виде гистограммы (изображение прямоугольниками) или полигоны (ломаной линии).

Пример: Результаты измерения диаметра 100 деталей (N = 100) микрометром (точность 0,01 мм) приведены в табл.3.

Выбираем число бинов n = 10, Х_max = 20,35 мм, X_min = 20,00 мм.

; ;

.

Таблица 3

Размер, мм	20,00	20,03	20,04	20,05	20,06	20,07	20,08	20,09	20,10	20,11	20,12	20,13	20,14	20,15
Количество деталей	1	1	1	1	2	2	2	2	2	2	3	4	5	5

	20,16	20,17	20,18	20,19	20,20	20,21	20,22	20,23	20,24	20,25	20,26	20,27	20,28	20,29
	5	5	7	3	3	5	5	6	5	4	3	4	3	3

	20,30	20,31	20,33	20,35
	3	1	1	1

Распределяем результаты измерений по 10 бинам.

Таблица 4

Интервал отклонений от размера 20 мм в мм	Частота mi	Частость pi
0,00...0,035	2	0,02
0,035...0,07	5	0,05
0,07...0,105	7	0,07
0,105...0,14	14	0,14
0,14. ..0,175	15	0,15
0,175...0,21	18	0,18
0,21... 0,245	16	0,16
0,245... 0,28	14	0,14
0,28...0,315	7	0,07
0,315...0,35	2	0,07

Гистограмма и полигона, распределения отклонений диаметра для 10 и 20 бинов приведены на рис.7.

С увеличением числа измерений N до бесконечности полигона превращается в плавную кривую или функцию распределения, которая описывает предельное распределение случайной величины. Наиболее часто встречаются следующие типы функций распределения случайной величины: нормальное, островершинное, двухвершинное, трапецеидальное (типа «шапо»), равномерное (рис.8).

m_i

20

15

10

5

0

p_i

0,2

0,15

0,1

0,05

0

гистограмма

полигона

0,035

0,07

0,105

0,14

0,175

0,21

0,245

0,28

0,315

0,35

a) n = 10

Х, мм

Х, мм

0,035

0,07

0,105

0,14

0,175

0,21

0,245

0,28

0,315

0,35

p_i

0,15

0,1

0,05

0

б) n = 20

Рис.7. Гистограмма и полигона распределения отклонений диаметра 20 мм при числе бинов: а) n = 10; б) n = 20

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

f(x)

0

0

0

0

0

а)

б)

в)

г)

д)

x

x

x

x

x

Рис.8. Типы функций распределения случайной величины:

а) нормальное, б) островершинное, в) двухвершинное, г) трапецеидальное, д) равномерное.

В технологии машиностроения большинство кривых распределения можно аппроксимировать законом нормального распределения (Гаусса-Ляпунова) (рис.9).

,

где σ и – параметры закона нормального распределения. Площадь под кривой нормального распределения в пределах соответствует вероятности того, что результаты эксперимента попадут в данный интервал. Эта площадь характеризуется интегралом вероятности

,

Его величина колеблется в пределах

y

x

0

x₁

x₂

σ

σ

Рис.9. Кривая нормального распределения.

Кривая нормального распределения асимптотически приближается к оси абсцисс. Для технических расчетов вполне допустимо ограничить поле рассеяния пределами ±3σ (от значения ). При этом площадь под кривой в этих пределах составляет 99.73% площади, ограниченной всей кривой, т.е. за пределами площади 6σ будет находится только 0.27% всей площади.

Оценку соответствия результатов измерения закону нормального распределения ведут по одному из следующих показателей:

1. по среднему абсолютному отклонению (САО);

2. по размаху варьирования;

3. по показателю асимметрии и эксцесса;

4. по критерию Пирсона (χ² );

5. по критерию Колмогорова-Смирнова (КС).

Для небольших выборок (N < 120) используют САО.

При законе нормального распределения должно соблюдаться неравенство, установленное экспериментально

.