11. Обработка результатов экспериментальных исследований.

11.1. Основные положения теории случайных погрешностей.

При проведении экспериментов получают только некоторое приближенное значение измеряемых величин и выходных величин. Степень этого приближения определяется систематическими и случайными погрешностями, возникающими в ходе эксперимента, в том числе систематическими и случайными погрешностями измерений.

Большинство систематических погрешностей измерений можно свести к следующим четырем группам.

1. Инструментальные погрешности (неисправность средств измерений, износ, неточность тарировки, неправильная установка, неправильное использование и т.п.).

2. Погрешности от воздействия окружающей среды (колебания температуры, давления, вибраций, магнитных, электрических полей и т.п.).

3. Субъективные погрешности (от физиологических и антропологических свойств человека).

4. Погрешности метода измерений (от упрощения схемы измерения и функциональных зависимостей).

Будем считать, что систематические погрешности обнаружены и устранены, остались только случайные погрешности.

Как известно, для анализа случайных величин используются основные положения теории вероятности и математической статистики. Рассмотрим эти положения применительно к анализу точности измерения, имея в виду, что в равной степени они относятся также и к точности изготовления деталей.

Под точностью измерения понимается степень приближения измеренного значения величины к ее действительному значению.

Погрешность измерения – это разность между измеренным и действительным значением величины.

Различают абсолютную и относительную погрешность.

Абсолютная погрешность ,

где X_i - значение величины, получаемое измерением,

X_D – действительное значение измеряемой величины.

Так как всякое измерение имеет погрешность, то действительное значение измеряемой величины получить нельзя. За действительное значение принимают среднеарифметическую величину совокупности измерений , которую называют средним данного ряда чисел (выборки) N.

.

Вычислить действительное значение измеренной величины и оценить возможные ошибки с определенной гарантией можно, используя теорию случайных ошибок.

Основу теории случайных ошибок составляют следующие предположения.

1. При большом числе измерений случайные ошибки (погрешности) одинаковой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто.

2. Бóльшие погрешности встречаются реже, чем меньшие.

3. При бесконечно большом числе измерений истинное значение измеряемой величины равно среднеарифметическому значению всех результатов измерений .

4. Появление того или иного результата измерения как случайной величины (события) определяется нормальным законом распределения.

Различают генеральную и выборочную совокупность. Под генеральной совокупностью понимается все множество возможных значений измерений X_i или возможных значений погрешностей ΔX_i. У выборочной совокупности число измерений ограничено и в каждом конкретном случае строго определено. Обычно считают, если N > 30, то среднее значение данной совокупности измерений достаточно близко к его истинному значению X_D. Теория случайных ошибок позволяет решать две задачи.

1) Оценить точность и надежность измерения при данном их количестве.

2) Определить минимальное количество измерений, гарантирующее требуемую точность и надежность измерений.

Среднеарифметическая величина анализируемой выборки измерений является важной, но недостаточной характеристикой ряда чисел. Она не дает представления о степени разброса результатов измерений около среднего значения. Среднее значение абсолютных отклонений (с учетом знака) не может служить показателем разброса, т.к. их сумма по всему ряду измерений равна нулю. Чтобы исключить влияние знака при абсолютных отклонениях принято усреднять не сами отклонения, а их квадраты, а для приведения размерности такой погрешности к размерности измеряемой величины, извлекают корень квадратный из этого среднего

.

Показатель σ называют стандартным отклонением (среднеквадратическим) в данной выборке значении измеряемой величины. Его можно рассматривать как среднюю погрешность результатов N измерений. Если результаты измерений записать в форме

,

где t - некоторый постоянный (гарантийный) коэффициент,

то величину « » можно рассматривать как абсолютную погрешность.

Для оценки относительной погрешности используют коэффициент вариации

.

Он характеризует степень изменчивости (разброса) результатов измерения. Чем больше K_B, тем больше результаты измерения отклоняются от среднего значения.

Для малых выборок (малого количества измерений) число N более корректно заменить на число степеней свободы (N–1). Тогда

.

В некоторых случаях погрешности измерения принято указывать не через σ, а через среднее стандартное отклонение или стандартную ошибку , которая определяется по формуле

или .

Из этой формулы следует, что среднее квадратическое отклонение среднего арифметического значения независимых случайных величин в раз меньше среднего квадратического отклонения σ каждой из величин. С увеличением числа измерений точность предсказания среднего повышается в степени 0,5. Таким образом, для увеличения, например, точности в 2 раза число измерений нужно увеличить в 4 раза.

При нормальном законе распределения общей оценочной характеристикой ряда измерений является дисперсия D, которая является показателем однородности результатов измерения. Чем выше D, тем больше разброс результатов измерений. Дисперсия является квадратом стандартного отклонения и вычисляется по формулам

– для N ≥ 30;

– для N < 30;