10.2. Математическое моделирование

Математика – общепризнанный инструмент исследования явлений и процессов. Математическая формализация особенно необходима там, где прямой эксперимент затруднен или невозможен. Математические модели позволяют исследовать явления, трудно поддающиеся изучению на физических моделях.

Однако, используя математические методы, следует помнить предупреждение академика А.Н.Крылова, что математика – это только жернова мельницы. Какое зерно в них засыпешь, такую муку и получишь. «Зерном» математических моделей должны быть реальные основы моделируемых процессов или объектов. В математике, в отличие от мельницы, если в матмодель заложена глупость, то на выходе можно получить глупость в n-й степени.

Решение практических задач математическими методами последовательно осуществляется в 3 этапа:

1. математическая формулировка задачи (разработка математической модели),

2. выбор метода и проведение исследования математической модели,

3. анализ полученного математического результата.

Математическая модель – это система математических соотношений (формул, функций, уравнений), описывающих те или иные стороны (свойства) изучаемых явлений или процессов.

Первым этапом математического моделирования является постановка задачи, определение объекта и целей исследования, задание критериев (признаков) изучаемых объектов и управления ими, установление границ области влияния изучаемого объекта (значимого взаимодействия с внешними объектами), включение в модель всех существенных факторов и рассмотрение ее как независимой от внешней среды. Математическая формулировка задачи обычно осуществляется в виде чисел, геометрических и физических образов, систем уравнений и т.п.

Второй этап – выбор типа математической модели (на основе сравнения). Цель и задачи, которые ставятся при математическом моделировании, играют немаловажную роль при выборе типа (класса) модели. Практические задачи требуют простого математического аппарата, а фундаментальные – более сложного. При помощи анализа данных поискового эксперимента устанавливаются: линейность или нелинейность, динамичность или статичность, стационарность или нестационарность, а также степень детерминирования объекта или процесса.

Наиболее простой является линейная модель. Она позволяет пользоваться принципом суперпозиции, который утверждает, что, когда на линейную систему воздействуют несколько входных сигналов, то каждый из них фильтруется системой так, как будто никакие другие сигналы на нее не действуют. Общий выходной сигнал линейной системы по принципу суперпозиции образуется в результате алгебраического суммирования ее реакции на каждый входной сигнал.

Математическая модель может быть построена тремя способами:

1) Прямым наблюдением явления, его прямым изучением и осмыслением. Модели, полученные таким путем, называют феноменологическими.

Например, все модели Ньютона являются феноменологическими.

2. Методом дедукции, когда рассматривается частный случай более общей модели (переход от общего к частному). Такие модели называются асимптотическими.

3. Методом индукции, когда новая модель создается как обобщение «элементарных», частных моделей. Такие модели называются моделями ансамблей (от частного к общему). Модели ансамблей позволяют прогнозировать (вычислять) поведение некоторой системы объектов по информации о поведении элементов и сил их взаимодействия. Например, модели планетарных систем являются моделями ансамблей.

В системах, организациях неживой материи не возникает новых свойств, не выводимых из свойств составляющих систему элементов. В системах биологических в совокупности организмов возникают свойства, которые не выводимы из свойств отдельных организмов. Во всяком случае, таково сегодня состояние науки. Например, стадо животных само проявляет черты организма, который имеет свои законы, определяемые главной целью – сохранением вида, внутренней среды (гомеостаза), и владеет способами его достижения.

Различают модели детерминированные и статистические. Детерминированные (теоретические) модели должны отражать основные закономерности исследуемых объектов и процессов. Построение детерминированных моделей сопряжено с проведением обширных и трудоемких исследований, поскольку при этом необходимо выяснить природу явлений, их причинно-следственные связи и описать их математически. Как правило, такие модели представляются в виде сложных систем дифференциальных уравнений. Они позволяют достаточно точно описать процессы и допускают экстраполяцию в точках факторного пространства, в которых невозможно непосредственное наблюдение этих процессов.

Статистические модели получаются в результате статистической обработки экспериментальных данных, собранных на исследуемом объекте или процессе. Они имеют относительно простую структуру (в большинстве случаев представляются в виде полиномов). Область их применения ограничивается ближайшими окрестностями рабочих точек, в которых проводились эксперименты.

Во многих случаях построение таких моделей можно выполнить при сравнительно небольших затратах времени и средств.

Для построения математических моделей сам объект и его свойства обычно упрощают, обобщают. Модель должна отображать существенные черты явления или процесса; излишняя детализация делает ее громоздкой. Модель должна быть оптимальной по сложности, желательно наглядной, но главное – адекватной, т.е. описывать закономерности изучаемого процесса с требуемой точностью.

y

y

R

x

φ

O

O₁

S_z

R_z

Рис.6. Схема формирования шероховатости (R_z)

при цилиндрическом фрезеровании

Пример. При цилиндрическом фрезеровании плоскостей траектория зуба фрезы представляет собой трохоиду, точка пересечения которой определяет высоту неровностей R_z. Получаемое уравнение трохоиды трансцендентное и не имеет точного решения относительно R_z. Так как подача на зуб фрезы S_z является величиной 2-3 порядка малости по сравнению с радиусом фрезы и скоростью резания, то трохоида на участке формирования поверхностного слоя заменяется окружностью радиуса R (рис.6). Наиболее точная формула для расчета R_z имеет вид:

,

где z - число зубьев фрезы; (+) – для встречного фрезерования; (-) – для попутного фрезерования.

При замене трохоиды окружностью радиуса R:

(формула Чебышева).

Для цилиндрической или дисковой фрезы диаметром 40 мм и числом зубьев z = 5 при подаче S_z = 0,1 мм/зуб расчет по более точной формуле для попутного фрезерования даeт R_z = 0,063 мкм, для встречного фрезерования R_z = 0,062 мкм, а по приближенной формуле R_z = 0,0625 мкм, т.е. погрешность 0,8% по отношению к более точной формуле.