Построение мультипликативной модели
9. Методика построения мультипликативной модели на первом этапе полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.
Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на скользящие средние.
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
Скользящая средняя за четыре квартала |
оценки сезонной компоненты
|
1 |
6 |
|
|
2 |
4,4 |
|
|
3 |
5 |
6,25 |
0,8 |
4 |
9 |
6,45 |
1,39535 |
5 |
7,2 |
6,625 |
1,08679 |
6 |
4,8 |
6,875 |
0,69818 |
7 |
6 |
7,1 |
0,84507 |
8 |
10 |
7,3 |
1,36986 |
9 |
8 |
7,45 |
1,07383 |
10 |
5,6 |
7,625 |
0,73443 |
11 |
6,4 |
7,875 |
0,8127 |
12 |
11 |
8,125 |
1,35385 |
13 |
9 |
8,325 |
1,08108 |
14 |
6,6 |
8,375 |
0,78806 |
15 |
7 |
|
|
16 |
10,8 |
|
|
10. Корректировка сезонной компоненты. Мультипликативная сезонная компонента должна удовлетворять следующим условиям:
1. Являться периодической функцией с периодом m=4, т.е.
- равенство сезонных компонент в 1 квартале;
- равенство сезонных компонент во 2 квартале;
- равенство сезонных компонент в 3 квартале;
- равенство сезонных компонент в 4 квартале.
2.
.
Для выполнения этих условий найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S.
Расчет значений сезонной компоненты в мультипликативной модели
Показатели |
Год |
№ квартала, I |
|||
I |
II |
III |
IV |
||
|
1 |
– |
– |
0,8000 |
1,3953 |
|
2 |
1,0868 |
0,6982 |
0,8451 |
1,3699 |
|
3 |
1,0738 |
0,7344 |
0,8127 |
1,3538 |
|
4 |
1,0811 |
0,7881 |
– |
– |
Средняя оценка сезонной компоненты для, |
|
1,0806 |
0,7402 |
0,8193 |
1,3730 |
Скорректированная
сезонная компонента,
|
|
1,10949127 |
0,76004 |
0,84119 |
1,40977272 |
Для данной модели имеем:
.
Определим корректирующий коэффициент:
.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной, умножив ее средние оценки на корректирующий коэффициент k:
.
Проверим условие равенства единице произведений значений сезонной компоненты:
.
Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
-
I квартал:
;II квартал:
;III квартал:
;IV квартал:
.
Занесем полученные значения в таблицу для соответствующих кварталов каждого года.
11. Исключим влияние сезонной компоненты, разделив каждый уровень исходного временного ряда на ее значение Y/S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
Скользящая средняя за четыре квартала |
оценки сезонной компоненты
|
Скорректированная сезоная компонента |
|
1 |
6 |
|
|
1,10949 |
5,40788394 |
2 |
4,4 |
|
|
0,76004 |
5,78919123 |
3 |
5 |
6,25 |
0,8 |
0,84119 |
5,94398597 |
4 |
9 |
6,45 |
1,39535 |
1,40977 |
6,38400776 |
5 |
7,2 |
6,625 |
1,08679 |
1,10949 |
6,48946073 |
6 |
4,8 |
6,875 |
0,69818 |
0,76004 |
6,31548134 |
7 |
6 |
7,1 |
0,84507 |
0,84119 |
7,13278317 |
8 |
10 |
7,3 |
1,36986 |
1,40977 |
7,09334196 |
9 |
8 |
7,45 |
1,07383 |
1,10949 |
7,21051193 |
10 |
5,6 |
7,625 |
0,73443 |
0,76004 |
7,36806157 |
11 |
6,4 |
7,875 |
0,8127 |
0,84119 |
7,60830204 |
12 |
11 |
8,125 |
1,35385 |
1,40977 |
7,80267615 |
13 |
9 |
8,325 |
1,08108 |
1,10949 |
8,11182592 |
14 |
6,6 |
8,375 |
0,78806 |
0,76004 |
8,68378685 |
15 |
7 |
|
|
0,84119 |
8,32158036 |
16 |
10,8 |
|
|
1,40977 |
7,66080931 |
12. Определим трендовую компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
|
Множественный R |
0,948009 |
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,898721 |
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,891487 |
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,313552 |
|
|
|
|
|
Наблюдения |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
Регрессия |
1 |
12,21379 |
12,21379 |
124,2317 |
2,4E-08 |
|
Остаток |
14 |
1,376405 |
0,098315 |
|
|
|
Итого |
15 |
13,5902 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
Y-пересечение |
5,4716 |
0,164428 |
33,27718 |
9,96E-15 |
5,119033 |
5,82436 |
Переменная X 1 |
0,1895 |
0,017005 |
11,14593 |
2,4E-08 |
0,153062 |
0,226005 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, имеем следующий линейный тренд:
.
Подставляя в это уравнение значения t=1,…, 16, найдем уровни T для каждого момента времени.
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
Скользящая средняя за четыре квартала |
оценки сезонной компоненты
|
Скорректированная сезоная компонента |
|
|
1 |
6 |
|
|
1,10949 |
5,4078 |
5,66123 |
2 |
4,4 |
|
|
0,76004 |
5,7891 |
5,85076 |
3 |
5 |
6,25 |
0,8 |
0,84119 |
5,9439 |
6,0403 |
4 |
9 |
6,45 |
1,39535 |
1,40977 |
6,3840 |
6,22983 |
5 |
7,2 |
6,625 |
1,08679 |
1,10949 |
6,4894 |
6,41936 |
6 |
4,8 |
6,875 |
0,69818 |
0,76004 |
6,3154 |
6,6089 |
7 |
6 |
7,1 |
0,84507 |
0,84119 |
7,1327 |
6,79843 |
8 |
10 |
7,3 |
1,36986 |
1,40977 |
7,0933 |
6,98796 |
9 |
8 |
7,45 |
1,07383 |
1,10949 |
7,2105 |
7,1775 |
10 |
5,6 |
7,625 |
0,73443 |
0,76004 |
7,3680 |
7,36703 |
11 |
6,4 |
7,875 |
0,8127 |
0,84119 |
7,6083 |
7,55656 |
12 |
11 |
8,125 |
1,35385 |
1,40977 |
7,8026 |
7,7461 |
13 |
9 |
8,325 |
1,08108 |
1,10949 |
8,1118 |
7,93563 |
14 |
6,6 |
8,375 |
0,78806 |
0,76004 |
8,6837 |
8,12516 |
15 |
7 |
|
|
0,84119 |
8,3215 |
8,3147 |
16 |
10,8 |
|
|
1,40977 |
7,6608 |
8,50423 |
13. Найдем значения уровней ряда, полученные по мультипликативной модели. Для этого умножим уровни T на значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
|
T*S |
1 |
6 |
5,90184 |
6,281 |
2 |
4,4 |
6,08826 |
4,447 |
3 |
5 |
6,27468 |
5,081 |
4 |
9 |
6,4611 |
8,783 |
5 |
7,2 |
6,64752 |
7,122 |
6 |
4,8 |
6,83395 |
5,023 |
7 |
6 |
7,02037 |
5,719 |
8 |
10 |
7,20679 |
9,851 |
9 |
8 |
7,39321 |
7,963 |
10 |
5,6 |
7,57963 |
5,599 |
11 |
6,4 |
7,76605 |
6,356 |
12 |
11 |
7,95248 |
10,920 |
13 |
9 |
8,1389 |
8,805 |
14 |
6,6 |
8,32532 |
6,175 |
15 |
7 |
8,51174 |
6,994 |
16 |
10,8 |
8,69816 |
11,989 |
Графически значения (TS) представлены на рисунке
14. Вычислим абсолютные ошибки по формуле
и относительные ошибки по формуле
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
T*S |
|
А |
1 |
6 |
6,281 |
-0,2811 |
4,68% |
2 |
4,4 |
4,447 |
-0,0468 |
1,06% |
3 |
5 |
5,081 |
-0,081 |
1,62% |
4 |
9 |
8,783 |
0,21736 |
2,42% |
5 |
7,2 |
7,122 |
0,07777 |
1,08% |
6 |
4,8 |
5,023 |
-0,223 |
4,65% |
7 |
6 |
5,719 |
0,28125 |
4,69% |
8 |
10 |
9,851 |
0,14856 |
1,49% |
9 |
8 |
7,963 |
0,03663 |
0,46% |
10 |
5,6 |
5,599 |
0,00078 |
0,01% |
11 |
6,4 |
6,356 |
0,04352 |
0,68% |
12 |
11 |
10,920 |
0,07976 |
0,73% |
13 |
9 |
8,805 |
0,19549 |
2,17% |
14 |
6,6 |
6,175 |
0,42457 |
6,43% |
15 |
7 |
6,994 |
0,00579 |
0,08% |
16 |
10,8 |
11,989 |
-1,189 |
11,01% |
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации, вычислив среднее значение по столбцу А. Она составит 2,70%.
Таким образом, мультипликативная модель дала более высокое качество прогноза, чем аддитивная.