Лабораторная работа № 3. Трендовые модели временных рядов
На сайте www.gks.ru или любом другом выбрать временной ряд по одному из социально-экономических показателей, не содержащих сезонность. Ряд должен содержать не менее 10 наблюдений. Можно выбрать данные, имеющие отношение к вашей курсовой или дипломной работе, тогда результат этой лабораторной работы вы сможете использовать в этих работах! Выполните для выбранного ряда следующие задания.
Постройте 5 графиков динамики показателя и добавьте на них разные типы тренда: линейный, логарифмический, полиномиальный (2 степени), степенной, экспоненциальный. При добавлении трнда установите опции «показывать уравнение на диаграмме» и «поместить на диаграмме коэффициент детерминации».
Выберите лучшую форму тренда и выполните по ней прогноз показателя на следующие 5 лет.
Лабораторная работа № 4. Аддитивная и мультипликативная модели временного ряда
Задание
На сайте www.gks.ru или любом другом выбрать временной ряд по одному из социально-экономических показателей, содержащий сезонную составляющую. Можно выбрать данные, имеющие отношение к вашей курсовой или дипломной работе, тогда результат этой лабораторной работы вы сможете использовать в этих работах!
1. Постройте график данного временного ряда. Охарактеризуйте структуру этого ряда (есть ли тренд, сезонность, период сезонной компоненты).
2. Постройте аддитивную модель временного ряда.
3. Постройте мультипликативную модель временного ряда.
4. Сравните модели по средней ошибке аппроксимации.
5. Выполните прогноз показателя на следующие 4 периода времени по лучшей модели.
Пример выполнения задания
Имеются поквартальные условные данные об объемах потребления электроэнергии жителями региона.
Номер квартала |
Потребление электроэнергии жителями региона, млн. кВтч |
Номер квартала |
Товарооборот % к предыдущему периоду |
1 |
6,0 |
9 |
8,0 |
2 |
4,4 |
10 |
5,6 |
3 |
5,0 |
11 |
6,4 |
4 |
9,0 |
12 |
11,0 |
5 |
7,2 |
13 |
9,0 |
6 |
4,8 |
14 |
6,6 |
7 |
6,0 |
15 |
7,0 |
8 |
10,0 |
16 |
10,8 |
Задания:
1. Постройте график данного временного ряда. Охарактеризуйте структуру этого ряда (есть ли тренд, сезонность, период сезонной компоненты).
2. Постройте аддитивную модель временного ряда.
3. Постройте мультипликативную модель временного ряда.
4. Сравните модели по средней ошибке аппроксимации.
Решение
1. Построим график данного временного ряда. Анализ графика позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала (m=4).
Построение аддитивной модели
2. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней с длиной интервала сглаживания, равной 4 по формуле
Для ряда с периодом 12 формула примет вид
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
Скользящая
средняя за четыре квартала
|
1 |
6,0 |
|
2 |
4,4 |
|
3 |
5,0 |
6,25 |
4 |
9,0 |
6,45 |
5 |
7,2 |
6,625 |
6 |
4,8 |
6,875 |
7 |
6,0 |
7,1 |
8 |
10,0 |
7,3 |
9 |
8,0 |
7,45 |
10 |
5,6 |
7,625 |
11 |
6,4 |
7,875 |
12 |
11,0 |
8,125 |
13 |
9,0 |
8,325 |
14 |
6,6 |
8,375 |
15 |
7,0 |
|
16 |
10,8 |
|
3. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и скользящими средними.
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
Скользящая средняя за четыре квартала |
оценки сезонной компоненты
|
1 |
6 |
|
|
2 |
4,4 |
|
|
3 |
5 |
6,25 |
-1,25 |
4 |
9 |
6,45 |
2,55 |
5 |
7,2 |
6,625 |
0,575 |
6 |
4,8 |
6,875 |
-2,075 |
7 |
6 |
7,1 |
-1,1 |
8 |
10 |
7,3 |
2,7 |
9 |
8 |
7,45 |
0,55 |
10 |
5,6 |
7,625 |
-2,025 |
11 |
6,4 |
7,875 |
-1,475 |
12 |
11 |
8,125 |
2,875 |
13 |
9 |
8,325 |
0,675 |
14 |
6,6 |
8,375 |
-1,775 |
15 |
7 |
|
|
16 |
10,8 |
|
|
4. Корректировка сезонной компоненты. Аддитивная сезонная компонента должна удовлетворять следующим условиям:
1. Являться периодической функцией с периодом m=4, т.е.
- равенство сезонных
компонент в 1 квартале;
- равенство сезонных
компонент во 2 квартале;
- равенство сезонных
компонент в 3 квартале;
- равенство сезонных
компонент в 4 квартале.
2.
Для выполнения этих условий найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S.
Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели
Показатели |
Год |
№ квартала, I |
|||
I |
II |
III |
IV |
||
|
1 |
– |
– |
–1,250 |
2,550 |
|
2 |
0,575 |
–2,075 |
–1,100 |
2,700 |
|
3 |
0,550 |
–2,025 |
–1,475 |
2,875 |
|
4 |
0,675 |
–1,775 |
– |
– |
Средняя оценка
сезонной,
|
|
0,600 |
–1,958 |
–1,275 |
2,708 |
Скорректированная
сезонная компонента,
|
|
0,581 |
–1,977 |
–1,294 |
2,690 |
(СРЗНАЧ по каждому кварталу)
Для данной модели имеем:
.
Определим корректирующий коэффициент:
.
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k:
.
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
.
Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
-
I квартал:
;II квартал:
;III квартал:
;IV квартал:
.
Занесем полученные значения в таблицу для соответствующих кварталов каждого года.
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
Скользящая средняя за четыре квартала |
оценки сезонной компоненты
|
Скорректированная сезоная компонента |
1 |
6 |
|
|
0,58125 |
2 |
4,4 |
|
|
-1,9771 |
3 |
5 |
6,25 |
-1,25 |
-1,2938 |
4 |
9 |
6,45 |
2,55 |
2,68958 |
5 |
7,2 |
6,625 |
0,575 |
0,58125 |
6 |
4,8 |
6,875 |
-2,075 |
-1,9771 |
7 |
6 |
7,1 |
-1,1 |
-1,2938 |
8 |
10 |
7,3 |
2,7 |
2,68958 |
9 |
8 |
7,45 |
0,55 |
0,58125 |
10 |
5,6 |
7,625 |
-2,025 |
-1,9771 |
11 |
6,4 |
7,875 |
-1,475 |
-1,2938 |
12 |
11 |
8,125 |
2,875 |
2,68958 |
13 |
9 |
8,325 |
0,675 |
0,58125 |
14 |
6,6 |
8,375 |
-1,775 |
-1,9771 |
15 |
7 |
|
|
-1,2938 |
16 |
10,8 |
|
|
2,68958 |
5. Исключим влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Y–S. Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
Скользящая средняя за четыре квартала |
оценки сезонной компоненты
|
Скорректированная сезоная компонента |
|
1 |
6 |
|
|
0,58125 |
5,41875 |
2 |
4,4 |
|
|
-1,9771 |
6,37708333 |
3 |
5 |
6,25 |
-1,25 |
-1,2938 |
6,29375 |
4 |
9 |
6,45 |
2,55 |
2,68958 |
6,31041667 |
5 |
7,2 |
6,625 |
0,575 |
0,58125 |
6,61875 |
6 |
4,8 |
6,875 |
-2,075 |
-1,9771 |
6,77708333 |
7 |
6 |
7,1 |
-1,1 |
-1,2938 |
7,29375 |
8 |
10 |
7,3 |
2,7 |
2,68958 |
7,31041667 |
9 |
8 |
7,45 |
0,55 |
0,58125 |
7,41875 |
10 |
5,6 |
7,625 |
-2,025 |
-1,9771 |
7,57708333 |
11 |
6,4 |
7,875 |
-1,475 |
-1,2938 |
7,69375 |
12 |
11 |
8,125 |
2,875 |
2,68958 |
8,31041667 |
13 |
9 |
8,325 |
0,675 |
0,58125 |
8,41875 |
14 |
6,6 |
8,375 |
-1,775 |
-1,9771 |
8,57708333 |
15 |
7 |
|
|
-1,2938 |
8,29375 |
16 |
10,8 |
|
|
2,68958 |
8,11041667 |
6. Определим трендовую компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда с помощью линейного тренда. Результаты аналитического выравнивания следующие:
ВЫВОД ИТОГОВ |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Регрессионная статистика |
|
|
|
|
|
||
Множественный R |
0,956541 |
|
|
|
|
|
|
R-квадрат |
0,914971 |
|
|
|
|
|
|
Нормированный R-квадрат |
0,908897 |
|
|
|
|
|
|
Стандартная ошибка |
0,280061 |
|
|
|
|
|
|
Наблюдения |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дисперсионный анализ |
|
|
|
|
|||
|
df |
SS |
MS |
F |
Значимость F |
|
|
Регрессия |
1 |
11,81602 |
11,81602 |
150,6491 |
7E-09 |
|
|
Остаток |
14 |
1,098077 |
0,078434 |
|
|
|
|
Итого |
15 |
12,9141 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициенты |
Стандартная ошибка |
t-статистика |
P-Значение |
Нижние 95% |
Верхние 95% |
|
Y-пересечение |
5,715417 |
0,146865 |
38,91609 |
1,14E-15 |
5,400422 |
6,030411 |
|
t |
0,186422 |
0,015188 |
12,27392 |
7E-09 |
0,153846 |
0,218998 |
|
Таким образом, имеем следующий линейный тренд:
.
Подставляя в это уравнение значения t=1,…, 16, найдем уровни T для каждого момента времени.
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
Скользящая средняя за четыре квартала |
оценки сезонной компоненты
|
Скорректированная сезоная компонента |
|
|
1 |
6 |
|
|
0,58125 |
5,4187 |
5,90184 |
2 |
4,4 |
|
|
-1,9771 |
6,3770 |
6,08826 |
3 |
5 |
6,25 |
-1,25 |
-1,2938 |
6,2937 |
6,27468 |
4 |
9 |
6,45 |
2,55 |
2,68958 |
6,3104 |
6,4611 |
5 |
7,2 |
6,625 |
0,575 |
0,58125 |
6,6187 |
6,64752 |
6 |
4,8 |
6,875 |
-2,075 |
-1,9771 |
6,7770 |
6,83395 |
7 |
6 |
7,1 |
-1,1 |
-1,2938 |
7,2937 |
7,02037 |
8 |
10 |
7,3 |
2,7 |
2,68958 |
7,3104 |
7,20679 |
9 |
8 |
7,45 |
0,55 |
0,58125 |
7,4187 |
7,39321 |
10 |
5,6 |
7,625 |
-2,025 |
-1,9771 |
7,5770 |
7,57963 |
11 |
6,4 |
7,875 |
-1,475 |
-1,2938 |
7,6937 |
7,76605 |
12 |
11 |
8,125 |
2,875 |
2,68958 |
8,3104 |
7,95248 |
13 |
9 |
8,325 |
0,675 |
0,58125 |
8,4187 |
8,1389 |
14 |
6,6 |
8,375 |
-1,775 |
-1,9771 |
8,5770 |
8,32532 |
15 |
7 |
|
|
-1,2938 |
8,2937 |
8,51174 |
16 |
10,8 |
|
|
2,68958 |
8,1104 |
8,69816 |
7. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням T значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов.
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
|
T+S |
1 |
6 |
5,90184 |
6,48309 |
2 |
4,4 |
6,08826 |
4,11118 |
3 |
5 |
6,27468 |
4,98093 |
4 |
9 |
6,4611 |
9,15069 |
5 |
7,2 |
6,64752 |
7,22877 |
6 |
4,8 |
6,83395 |
4,85686 |
7 |
6 |
7,02037 |
5,72662 |
8 |
10 |
7,20679 |
9,89637 |
9 |
8 |
7,39321 |
7,97446 |
10 |
5,6 |
7,57963 |
5,60255 |
11 |
6,4 |
7,76605 |
6,4723 |
12 |
11 |
7,95248 |
10,6421 |
13 |
9 |
8,1389 |
8,72015 |
14 |
6,6 |
8,32532 |
6,34824 |
15 |
7 |
8,51174 |
7,21799 |
16 |
10,8 |
8,69816 |
11,3877 |
Графически значения (T+S) представлены на рисунке
Рис. 3.2
8. Вычислим абсолютные ошибки по формуле
и относительные ошибки по формуле
№ квартала, t |
Потребление электроэнергии, y(t) |
T+S |
|
А |
1 |
6 |
6,48309 |
-0,4831 |
8,05% |
2 |
4,4 |
4,11118 |
0,28882 |
6,56% |
3 |
5 |
4,98093 |
0,01907 |
0,38% |
4 |
9 |
9,15069 |
-0,1507 |
1,67% |
5 |
7,2 |
7,22877 |
-0,0288 |
0,40% |
6 |
4,8 |
4,85686 |
-0,0569 |
1,18% |
7 |
6 |
5,72662 |
0,27338 |
4,56% |
8 |
10 |
9,89637 |
0,10363 |
1,04% |
9 |
8 |
7,97446 |
0,02554 |
0,32% |
10 |
5,6 |
5,60255 |
-0,0025 |
0,05% |
11 |
6,4 |
6,4723 |
-0,0723 |
1,13% |
12 |
11 |
10,6421 |
0,35794 |
3,25% |
13 |
9 |
8,72015 |
0,27985 |
3,11% |
14 |
6,6 |
6,34824 |
0,25176 |
3,81% |
15 |
7 |
7,21799 |
-0,218 |
3,11% |
16 |
10,8 |
11,3877 |
-0,5877 |
5,44% |
Вычислим среднюю ошибку аппроксимации, вычислив среднее значение по столбцу А.
Она составит 2,75%.