Построение оптимальной последовательности операций
Постановка задачи
Пусть на оптовую базу прибыло n машин с товаром для разгрузки и m машин для загрузки товаров, направляемых в магазины. Менеджер оформляет документы по операциям разгрузки или загрузки одной машины, а затем переходит к обслуживанию другой машины. Издержки от операций обусловлены простоем транспорта, типом операции (прием или отправка товара). Необходимо спланировать последовательность операций обоих видов таким образом, чтобы суммарные издержки по приему и отправке товаров для всех машин были минимальными.
Алгоритм решения
Из условия следует, что состояние системы определено двумя параметрами: n – количеством принятых и оформленных машин по разгрузке товаров и m – количеством машин, отправляемых с товаром в магазины. Поэтому решение можно искать на плоскости в области допустимых состояний системы (рис.19). По оси абсцисс откладываем число разгруженных машин, а по оси ординат – число загруженных товаром машин. Можно построить на плоскости граф состояний процесса, в котором каждая вершина соответствует состоянию операции приема и отправки товара на оптовой базе. Ребра графа соответствуют выполнению работы по приему или отправке товара на очередной машине. Каждому ребру можно сопоставить издержки, связанные с выполнением операции по разгрузке или загрузке машины. Таким образом поставленная задача свелась к задаче о поиске оптимального маршрута от начального пункта до конечного.
Рис.19. Схема операций на складе
Пример
Пусть
,
,
известны затраты по выполнению каждой
операции, которые указаны на ребрах
графа (рис.19). Состояние
определяет начало процесса, состояние
конечное состояние, соответствующее
приему и отправке всех машин.
Решение
Решаем
данную задачу аналогично задаче об
оптимальном маршруте. Процесс управления
разбивается на
шагов. Решение предлагается выполнить
самостоятельно.
В
итоге должны получиться следующие
результаты. Минимальные издержки
.
Оптимальное управление процессом
разгрузки и загрузки машин товаром при
данных условиях заключается в следующем:
на первом и втором шагах следует оформить
документы по разгрузке двух машин, на
третьем – по загрузке одной машины,
далее – снова две машины по разгрузке
товара, затем три машины по загрузке и
на последнем шаге оформить документы
по разгрузке последней машины. При этом
минимальные суммарные издержки по
приему и отправке товаров для всех машин
равны 73. Оптимальное решение выделено
двойной линией на рис.20.
Рис.20. Оптимальное управление операциями на складе
Другие примеры задач
Принцип оптимальности Беллмана применим в решении многих интересных практических задач на производстве. Опишем общую постановку еще нескольких типов задач.
Задача о рациональной эксплуатации гидростанций и тепловых станций (тэц, гэс) и выборе экономичного состава агрегатов.
При эксплуатации ГЭС и ТЭЦ возникает необходимость периодической остановки агрегатов при снижении нагрузки и включения резервных агрегатов при увеличении нагрузки. Включение в работу разных агрегатов влияет на величину и размещение резервов системы, на режим электрической сети, на перетоки электроэнергии по межсистемным линиям электропередачи, на расход топлива и т. д.
Если
на станции имеется n
агрегатов, и каждый из них может быть
или включен, или отключен, то число всех
вариантов включения равно
.
На состав включенных агрегатов влияет режим работы электрических сетей, который обычно оценивается и прогнозируется статистическими методами. В общем виде задачи оптимизации работы станций являются нелинейными и многоэкстремальными. Поэтому обычно говорят не об оптимальных, а о рациональных решениях задач. Для решения таких задач обычный математический аппарат не подходит.
В частном случае методы динамического программирования позволяют решать задачи рациональной эксплуатации ГЭС и ТЭЦ при числе агрегатов порядка 20 – 30.
Задача может быть сформулирована следующим образом. На станции имеется n одинаковых агрегатов, известна производительность одного агрегата и стоимость единицы производимой им электроэнергии. Известен график оплаченной электроэнергии, избыточно произведенная электроэнергия не оплачивается. Известны затраты на поддержание одного агрегатав рабочем состоянии, затраты на отключение и консервацию, а также затраты на запуск агрегата. Требуется определить оптимальный режим эксплуатации каждого агрегата.