3. Двумерная задача о распределении средств между предприятиями на несколько лет

Планируется деятельность двух предприятий в течение n лет. Начальные средства составляют . В начале каждого года средства распределяются между предприятиями в количестве x и y. В конце года предприятия возвращают средства в количестве и .Эти общие средства вновь распределяются между предприятиями, новые средства дополнительно не поступают. Кроме того, предприятия в конце года получают прибыль в размере и , которая остается на предприятиях и в производство не вкладывается.

Требуется найти оптимальный способ распределения имеющихся средств по годам, чтобы суммарная прибыль, полученная предприятиями за n лет, была максимальной.

Рассмотрим математическую модель задачи с позиции динамического программирования.

1. Пусть k – номер года, на который планируется распределение средств. Тогда – количество средств, подлежащих распределению в начале года.

2. Уравнение является уравнением связи, используя которое можно выразить количество средств, выделяемых предприятию II: . Следовательно, остается один параметр управления .

3. Уравнения состояния определяются количеством средств, возвращенных предприятиями в конце года k:

(19)

Уравнения состояния (19) показывают, что состояние системы в конце шага k зависит только от состояния системы в начале этого шага и управления на данном шаге.

4. Эффективность шага k определяется как суммарная прибыль предприятий за год:

(20)

Целевая функция задачи – это суммарная эффективность за n лет:

(21)

Необходимо найти такое управление , при котором целевая функция Z принимает максимальное значение.

При решении используем уравнения Беллмана. На последнем шаге

. (22)

Дальше при

(23)

Перейдем к решению конкретного примера.

Постановка задачи.

Пусть . Прибыль, не возвращаемая в производство . Средства, возвращаемые для дальнейшего распределения, определяются функциями .

Запишем уравнения состояния и эффективность одного шага :

, (24)

. (25)

Решение задачи.

Начинаем с шага . Подставляем в формулу (22) значение эффективности для этого шага в соответствии с формулой (25):

. (26)

Функция является линейной возрастающей функцией аргумента и достигает максимума при . Т. е. на этом шаге все средства должны быть выделены предприятию I.

Переходим к шагу . Записываем уравнение Беллмана (23) на этом шаге с учетом формулы (25), локального максимума и уравнения состояния :

(27)

Функция достигает максимума при (все средства должны быть выделены предприятию I).

Переходим к шагу . Записываем уравнение Беллмана (23) на этом шаге с учетом формулы (25), локального максимума и уравнения состояния :

(28)

Функция является линейной убывающей функцией аргумента и достигает максимума при . Т. е. в начале второго года все средства должны быть выделены предприятию II.

Переходим к шагу . Записываем уравнение Беллмана (23) на этом шаге с учетом формулы (25), локального максимума и уравнения состояния :

(29)

Функция достигает максимума при . Т. е. в начале первого года все средства должны быть выделены предприятию II. Учитывая заданное значение , получаем . Запишем полученные результаты распределения средств в таблицу (см. табл.4).

Таблица 4

Оптимальное распределения средств

Год (шаг)k	Средства в начале года	Распределение средств		Прибыль, не возвращаемая в производство
1	40000	0	40000	0	24000
2	36000	0	36000	0	21600
3	32400	32400	0	22680	0
4	25920	25920	0	18144	0