2. Интегрирование рациональных дробей

Содержани

Тема 1. Неопределённые интегралы 4

§1. Первообразная и неопределённый интеграл: определения и основные свойства. Таблица неопределённых интегралов 4

1.1. Определения первообразной и неопределённого интеграла 5

1.2. Основные свойства неопределённого интеграла 8

1.4. Общие замечания о вычислении неопределённых интегралов 14

1.5. Упражнения для самостоятельной работы 16

Вопросы для проверки 17

Глоссарий 18

2.1. Подведение под знак дифференциала постоянного слагаемого, постоянного множителя, части подынтегральной функции 21

2.2. Метод подстановки 22

2.3. Общее правило замены переменной интегрирования 24

2.4. Метод интегрирования по частям (Опишите метод интегрирования по частям) 26

2.5. Основные типы интегралов, которые вычисляются с помощью формулы интегрирования по частям 27

2.6. Упражнения для самостоятельной работы 29

§2. Интегрирование рациональных дробей 30

3.1 Определение и основные свойства рациональных дробей 32

3.2 Интегрирование простейших рациональных дробей 36

3.3 Правило интегрирования рациональных дробей (Правило интегрирования рациональных дробей) 39

3.4 Упражнения для самостоятельной работы 41

Вопросы для самопроверки 41

§3. Интегралы от некоторых тригонометрических функций и от некоторых иррациональных функций 42

4.1 Интегралы от произведения синуса и косинуса разных аргументов 44

4.2 Интегралы от произведения степеней синуса и косинуса одного аргумента 45

4.3 Интегралы от натуральных степеней тангенса и котангенса 46

4.4 Интегралы от рациональной функции аргументов cosx и sinx 48

4.5 Интегралы от иррациональных функций вида 50

4.6 Интегралы от иррациональных функций вида 51

4.7 Интегралы, у которых иррациональности уничтожаются тригонометрическими подстановками 52

4.8 Упражнения для самостоятельной работы (Интегралы от произведения синуса и косинуса разных аргументов.) 55

3.1 Определение и основные свойства рациональных дробей 26

3.2 Интегрирование простейших рациональных дробей 31

3.3 Правило интегрирования рациональных дробей 33

3.4 Упражнения для самостоятельной работы 36

Вопросы для самопроверки 36

1. Определение и основные свойства рациональных дробей

Здесь следует напомнить определение рациональной функции (рациональной дроби) и основные свойства этих функций.

Определение рациональной функции

Рациональной функцией аргумента x (рациональной дробью аргумента x) называется отношение двух целых многочленов: , где , , , -действительные (или комплексные) числа, , x — независимая переменная, (действительная или комплексная). Рациональная функция называется правильной рациональной дробью, если n < m, и называется неправильной рациональной дробью, если n ≥ m.

Например, 1) , , — это правильные рациональные дроби;

2. , — это неправильные рациональные дроби;

3. , — эти функции не являются рациональными дробями;

4) — это рациональная дробь, но относительно аргумента sin x.

Свойство 1 (о выделении целой части в неправильной рациональной дроби)

Любую неправильную рациональную дробь можно представить единственным образом в виде суммы целого многочлена и правильной рациональной дроби

Примеры (выделение целой части в неправильной рациональной дроби)

1)

2) ;

2x5 + х + 1 x2 – 1 2x5 - 2x3 2x3 + 2x — частное 2x3 + x + 1 2x3 – 2x 3x + 1 — остаток

здесь показано выделение целой части неправильной рациональной дроби с помощью деления многочлена на многочлен «в столбик» (аналогично ).

Определение простейших рациональных дробей

Простейшими (или элементарными) рациональными дробями называются следующие правильные дроби вида I-IV: I. II. , k = 2, 3… III. IV. , k = 2, 3…, при этом D = b2 – 4ac  0, так что уравнение ax2 + bx + c = 0 не имеет корней на .

Например, простейшими являются следующие рациональные дроби:

, , , , .

Свойство 2 (о разложении правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей)

Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы простейших дробей вида I, II, III, IV. Для этого нужно: 1) многочлен знаменателя правильной рациональной дроби разложить на произведение линейных и квадратичных сомножителей с действительными коэффициентами; 2) записать разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей, соответствующих каждому сомножителю её знаменателя: простому линейному множителю (х – а) соответствует дробь вида I кратному линейному множителю (x – a)k соответствует сумма k дробей вида I и II : квадратичному множителю (ax² + bx + c) соответствует дробь вида III ; кратному квадратичному множителю (ax2 + bx + c)k соответствует сумма k дробей вида III, IV: ; 3) неопределённые коэффициенты в числителях простейших дробей (A, B, C, A1, B1,…) найти из условия тождественного равенства исходной рациональной дроби и составленной для неё суммы простейших дробей.

Примеры (разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших

дробей)

Составим несколько разложений правильных рациональных дробей на соответствующие им суммы простейших дробей.

1)

2)

3)

4)

Вычислим неопрделённые коэффициенты для первых двух разложений. При этом в записях будем использовать знак , подчёркивая тождественное выполнение некоторых равенств.

1)

так как тождественно равны две дроби с одинаковыми знаменателями, то тождественно равны их числители:

;

вычисляем числа А и В, используя метод частных значений x, суть которого состоит в следующем: тождественное равенство двух многочленов относительно x означает, что равны значения этих многочленов при любых частных значениях x;

в рассматриваемом примере удобными частными значениями x являются x =2 и x = -3; подставим эти значения x в тождественное равенство числителей:

при x = 2 получим

при x = –3 получим

неопределённые коэффициенты А и В вычислены, теперь подставляем их в искомое разложение и подтверждаем его проверкой:

таким образом, неопределенные коэффициенты вычислены правильно, и разложение данной рациональной дроби на простейшие дроби имеет следующий вид:

.