Пример (использование свойства линейности неопределенного интеграла)

.

По решению примера заметим, что при вычислении суммы нескольких интегралов одну произвольную постоянную интегрирования следует добавлять только в конце выкладок после того, как закончено все интегрирование.

Свойство 3 (о рядом стоящих знаках дифференциала и неопределенного интеграла)

Рядом стоящие знаки дифференциала и неопределенного интеграла взаимно уничтожаются: и



. 

Например, ; ; ; ; .

Замечание

Здесь необходимо напомнить определение дифференциала функции:

если , то , то есть дифференциал функции по переменной x - это есть производная , умноженная на dx. При этом переменная, обозначенная буквой x, может быть как независимой, так и функцией от другой независимой переменной – в этом проявляется свойство инвариантности формы первого дифференциала ФОП.

1.3. Таблица неопределённых интегралов

Здесь приводится список основных неопределённых интегралов, которые нужно выучить. Справедливость всех табличных интегралов доказывается дифференцированием.

Таблица 1. Основные неопределенные интегралы

1.	,	интеграл от степенной функции
2.		интеграл типа «логарифм»
3.	,	интеграл от показательной функции
4.		интегралы от тригонометрических функций
5.	,	интеграл типа «арксинус»
6.	,	интеграл типа «арктангенс»
7.	,	интеграл типа «высокий логарифм»
8.	,	интеграл типа «длинный логарифм»

 Например, приведем доказательства некоторых интегралов, включенных в эту таблицу (остальные интегралы таблицы рекомендую доказать самостоятельно):

2)

8)



Таблицу 1, так называемую «малую таблицу неопределённых интегралов», можно дополнить любыми часто встречающимися интегралами и получить дополнительный список неопределённых интегралов, которыми можно пользоваться для ускорения вычислений. При этом справедливость каждого интеграла из этого списка необходимо уметь доказывать. Пример дополнительного списка показан в Таблице 2.

Таблица 2. Некоторые дополнительные интегралы

Вычисление неопределённых интегралов с использованием их свойств и таблиц интегралов называется непосредственным (табличным) интегрированием.

Примеры (табличное интегрирование)

1)

;

2) (табличный интеграл типа «арксинус»);

3)

(табличный интеграл типа «высокий логарифм»);

4) (табличный интеграл типа «длинный логарифм»).