Геометрическая трактовка неопределённого интеграла (в чем состоит геометрическая трактовка неопределённого интеграла?)

Из определения неопределённого интеграла следует, что уравнение задает однопараметрическое семейство линий на плоскости xOy; каждая из этих линий называется интегральной линией для функции f(x). Все интегральные линии для заданной функции имеют одинаковую форму и не пересекаются, так как получаются друг из друга сдвигом по оси функции (вследствие того, что уравнения двух интегральных линий могут отличаться только на постоянное слагаемое).

Пример (геометрическая трактовка неопределенного интеграла)

Для функции построим графики её производной и множества её первообразных

Если зафиксировать на плоскости точку , то определится значение постоянной для интегральной линии, проходящей через эту точку. Например, если задать точку , то - это уравнение интегральной линии для функции , которая проходит через заданную точку.

2. Основные свойства неопределённого интеграла

Свойство 1 (о производной неопределенного интеграла)

Производная неопределённого интеграла по переменной интегрирования равна подынтегральной функции:

_ .  

Это свойство используется для проверки результата действия интегрирования.

Например, чтобы убедиться в том, что , нужно продифференцировать результат: - верно.

Свойство 2 (о линейности неопределенного интеграла)

Неопределённый интеграл от суммы двух или нескольких функций равен сумме неопределённых интегралов от каждой функции: Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла: Постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла , где a – постоянная величина относительно переменной интегрирования.

1. Вычислим производные от левой и правой частей первого равенства, используя доказанное выше свойство 1 и свойство линейности операции дифференцирования:

(левая часть)_x =  ;

(правая часть)_x  =  

так как производные левой и правой частей равенства совпадают, то сами левая и правая части могут отличаться только на постоянное слагаемое. Таким образом, доказываемое равенство (как и все другие равенства, содержащие неопределённые интегралы) верно в том смысле, что его левая и правая части могут отличаться на постоянное слагаемое.

2. Второе равенство доказываем аналогичным образом:

(левая часть)^_x =  ;

(правая часть)^_x = 

совпадение производных левой и правой частей равенства означает, что сами левая и правая части могут отличаться только на постоянное слагаемое. 

Замечания (к свойству линейности неопределённого интеграла)

1. Так как запись означает множество всех первообразных функции , то равенства между неопределёнными интегралами в рассмотренном свойстве по сути являются равенствами между множествами функций. В пределах каждого из этих множеств элементы (первообразные) отличаются друг от друга на постоянное слагаемое. Поэтому любое равенство, содержащее неопределённые интегралы, понимается верным в том смысле, что его левая и правая части либо совпадают в точности, либо отличаются на постоянное слагаемое. При этом говорят, что равенство верное с точностью до постоянного слагаемого.

2. Свойство линейности неопределенного интеграла можно записать в более общей форме для любой линейной комбинации функций:

Неопределённый интеграл от линейной комбинации конечного числа функций равен такой же линейной комбинации интегралов, найденных от каждой из этих функций: