5.5 Метод секущих
Одним из недостатков метода Ньютона является необходимость дифференцирования заданной функции f(x). Если нахождение производной затруднено, можно воспользоваться некоторым приближением, которое положено в основу метода секущих. Заменим производную f ′(xn) для расчета
xn+1 = xn - f(xn)/f ′(xn) разностью последовательных значений функции, отнесенных к разности последовательных значений аргумента, т.е. разделенной разностью первого порядка
F*(xn)= (f(xn)- f(xn-1))/( xn- xn-1),
тогда
xn+1 = xn - f(xn)/ F*(xn). (5.3)
Схема алгоритма остается, как и в методе Ньютона, изменяется только вид итерационной формулы (5.3).
5.6 Метод простой итерации (последовательных приближений)
Для применения этого метода уравнение f(x)=0 приводится к виду
х = g(х). Задаются начальным значением х0, а последующие приближения вычисляются с помощью итерационной процедуры
xn+1= g(хn). (5.4)
Для сходимости метода необходимо выполнение условия
0< g′ (хn)<1
Y
x
g(x)
X
х0 х1 х2
Рисунок 5.5 – Геометрическая интерпретация метода простых итераций
Компьютерная реализация методов в Excel описана в [9], [23-24, 26].
Литература: [1-4],[6], [9], [14-17], [23-24].
Лекция 6 Тема: Численные методы решения систем алгебраических уравнений
План: Постановка задачи нахождения решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений. Примеры решения систем уравнений в теплоэнергетических расчетах. Методы решения систем алгебраических уравнений (Гаусса, Зейделя, Ньютона).
6.1 Решение систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений
С подобной задачей инженер сталкивается, пожалуй, чаще всего в своей практике. Уравнения, содержащие суммы целых степеней х, называются алгебраическими. К решению систем алгебраических уравнений приводят многие задачи анализа и синтеза физических явлений различной природы (механические, гидравлические, и т.д.). В теплоэнергетике к решению систем алгебраических уравнений приводят задачи: теплового и массового баланса процессов, гидравлического расчета тепловых сетей, систем теплоснабжения, анализа размерности при физическом моделировании и т.д.
В общем случае система линейных уравнений имеет вид:
a11
x1
+ a22
x2 + .
. . + a1n
xn =
b1
a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ( 6.1 )
an1 x1 + an2 x2 + . . . + ann xn = bn
Систему (6.1) можно представить в векторно-матричной форме:
-
матрица коэффициентов будет иметь вид
a11 a12 . . . a1n
a21 a22 . . . a2n
A = . . . . . . . . . . ;
an1 an2 . . . ann
-
вектор -столбец свободных членов
( 6.2 )
b1
b2
b = …… ;
bn
- вектор-столбец неизвестных
x1
x2
x = ….. .
xn
Свернем (6.2):
Ax = b (6.3)
Если матрица А невырожденная, то есть ее определитель отличен от нуля, можно найти единственное решение системы (6.1) или (6.3) в виде:
xi=
, (6.4)
где в числителе определитель матрицы Ai.
Матрица Ai может быть получена из матрицы А, заменой ее i-го столбца, столбцом свободных членов. Такой метод решения мало эффективен, чаще всего используются численные методы решения, которые делятся на: прямые (точные) и итерационные (приближенные). К прямым относится метод Гаусса, к приближенным - метод Зейделя.
Р аспространенной вычислительной задачей является нахождение решений систем нелинейных алгебраических трансцендентных уравнений с n неизвестными, которые в общем виде можно записать так:
f1(x1,x2, . . . xn)=0
f2(x1,x2, . . . xn)=0
. . . . . . . . . . . . . . (6.5)
fn(x1,x2, . . . xn)=0
Решением такой системы называется множество значений x1,x2, . . . xn, одновременно удовлетворяющих каждому из уравнений системы.
Введем векторы столбцы:
x1 f1
x2 f2
x = . . . , f = . . . , тогда (6.5) преобразуется к виду
xn fn
f(x)=0. ( 6.6 )
Такие системы решаются только итерационными методами Ньютона и Зейделя.