Лекция 5
Тема: Численные методы нахождение корней алгебраических и трансцендентных уравнений
План: Нахождение корней алгебраических и трансцендентных уравнений при решении уравнений тепло - и массообмена. Методы нахождения корней уравнений: дихотомии, хорд, Ньютона, секущих, последовательных приближений.
5.1 Нахождение корней алгебраических и трансцендентных уравнений при решении задач тепло - и массообмена.
В научной и инженерской практике часто приходится решать алгебраические уравнения. Так при решении задачи нестационарной теплопроводности по определению температурного поля в бесконечной пластине толщиной 2δ было получено уравнение вида
Θ=Σ(2Θ0sinμn/(μn+ sinμnсosμn)) сos(μnх/δ)exp(-μn2Fo),
в котором μn являлось корнем характеристического трансцендентного уравнения
μn/Bi=ctg μn.
Критериальные уравнения тепломассообмена, многие уравнения гидродинамики относятся к трансцендентным уравнениям [14-17].
Скорость и эффективность решений таких уравнений существенно влияют на применимость вычислительного процесса и определяются классом задачи. Алгебраические задачи могут быть классифицированы по числу уравнений, типу и количеству решений.
Алгебраические
и трансцендентные уравнения
Одно уравнение
Система уравнений
Линейное
Нелинейное
Линейная
Нелинейная
Одно
решение
Алгебраическое
(n
решений)
Одно
решение
Несколько
решений
Трансцендентное
(неопределенное
число решений)
Рисунок 5.1 –Схема классификации алгебраических уравнений
Методы решения алгебраических уравнений делятся на прямые и итерационные.
Прямые это – например, нахождение корня квадратного уравнения.
В итерационных методах процедура решения задаётся в виде многократного применения некоторого алгоритма.
При решении таких задач предполагается, что корни являются действительными.
Отыскание корней уравнения состоит обычно из двух этапов. На первом этапе необходимо выяснить существуют ли решения, какого их количество, оценить примерное значение, оценить количество и величину интервалов, на котором функция меняет знак. Второй этап – нахождение корня в заданном интервале.
При решении задачи нахождения корней функции одной переменной вида f(x)=0, где f(x) – алгебраическая или трансцендентная функция, можно говорить только о приближенном вычислении корней уравнения, т. е. таких значений аргумента x=х*, при которых выполняется равенство f(х*)=0 с заданной точностью. Рассмотрим некоторые методы решения задач такого типа.
5.2 Метод половинного деления (дихотомия)
Дихотомия применяется, когда требуется надежность счета, а скорость сходимости не имеет значения.
f(хn+1)
Y
f(хср)
хn хcр2 х* хcр1 хn+1 Х
f(хn)
Рисунок 5.2 – Геометрическая интерпретация метода дихотомии
Пусть дано уравнение f(x)=0 и отделен простой корень х*, то есть найден такой отрезок [хn, хn+1], х* принадлежит [хn, хn+1] и на концах интервала функция имеет значения, противоположные по знаку. Отрезок
[хn, хn+1] называется начальным интервалом неопределенности, потому что известно, что корень ему принадлежит, но его местоположение с требуемой точностью не определено.