4.1 Численное интегрирование в теплотехнических расчетах

Необходимость численного интегрирования часто возникает при анализе инженерных и научных данных. Например, численные методы вычисления применяют в тех случаях, когда интеграл не удается найти в аналитическом виде или когда этот вид сложен. Численное интегрирование применяют и тогда, когда нужно найти интеграл от табулированной функции, измеряемой в эксперименте.

Например, для определения количества теплоты, передаваемого от одного теплоносителя к другому через поверхность теплообмена, необходимо воспользоваться уравнением теплопередачи вида

dQ = k<t>dF (4.1)

Из уравнения (4.1) t_x2

F=dQ  k<t> = G_хc_рхdt_х  k<t>(t_x,t_г )

t_x1

т.е задача сводится к взятию интеграла, что не всегда можно сделать аналитически.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла вида:

,

где f(x) – заданная функция.

На отрезке [а,b] вводится сетка

ω ={x_i;; x₀ = а<x₁<x₂…<x_n = b}.

В качестве приближенного значения интеграла рассматривают число

, (4.2)

где f(x_i) – значения функции в узлах сетки;

с_i – весовые или квадратурные множители (веса), которые зависят только от узлов и не зависят от вида функции.

Формула (4.2) - квадратурная формула. Задача численного интегрирования будет состоять в отыскании таких узлов {x_i;} и таких весов {с_i;}, чтобы погрешность квадратурной формулы была минимальна для функций из заданного класса

В зависимости от разбиения отрезка [а,b] различают два подхода к построению квадратурных формул. В первом - местоположение и длина интервалов разбиения выбираются заранее. В этом случае используется квадратурная формула Ньютона - Котеса (к этим методам относятся метод трапеции и метод Симпсона). Во втором - местоположение и длина интервалов заранее не задается, а подбирается так, чтобы достичь наивысшей точности при заданном числе интервалов (метод Гаусса).

Определенный интеграл

_b

I= f(x)dx (4.2)

^a

представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью х и прямыми х₀ = a, х _n= b. Мы будем пытаться вычислить интеграл, разбивая интервал от a до b на множество меньших интервалов, находя приблизительную площадь каждой полоски.

y f (x_i) f (x_i+1)

y = f (x)

a x_i x_i+1 b x

Рисунок 4.1 – Геометрическая интерпретация численного интегрирования

4.2 Методы численного интегрирования

4.2.1.Формула прямоугольников

Впишем в каждую полоску прямоугольник. Для нахождения площади такого прямоугольника найдем координату средней точки х_ср = (x_i+x_i+1)/2 и значение функции в ней f (x_ср). Площадь под кривой определяется так

I=ΣI_i= Σf((x_i+x_i+1 )/2)*( x_i+1- x_i) (4.3).

Формула (4.3) - формула прямоугольников.

Оценим погрешность метода прямоугольников, для чего разложим функцию в ряд Тейлора и отбросим соответствующие члены ряда, содержащие h в степени больше 3.

Эта погрешность может быть определена так:

e_i = - (h³/24)* f ′′ (x_i),

ε = ∑ e_i = - (h²/24)* (b-a ) * f ′′ ( ξ ), (4.4).

где ξ є [ a , b ].