7.2.2 Методы Рунге-Кутты

Наибольше распространение при решении обыкновенных дифференциальных уравнений получил методы Рунге-Кутты.

В методах Рунге-Кутты более высокого порядка точности смещение из

точки (x_i,y_i), в точку (x_i+1,y_i+1) происходит не сразу, а через промежуточные точки (внутренние для интервала [х_i,х_i+1]), в каждой из которых определяется направление касательной. В результате смещение выполняется вдоль некоторого усредненного направления. Методы Рунге-Кутты дает набор формул для расчета координат внутренних точек, требуемых для реализации этой идеи. Так как существует несколько способов расположения внутренних точек и выбора относительных весов для найденных производных, то метод Рунге-Кутты, в сущности, объединяет целое семейство методов решения дифференциальных уравнений первого порядка, которым можно отнести метод Эйлера и его модификации.

Наиболее распространенным является метод Рунге-Кутты четвертого порядка точности, для которого ошибка на шаге имеет порядок h⁵.

В этом методе значения величины y_i+1 рассчитывается по формуле

y_i+1=y_i+h (K₁+2K₂+2K₃+K₄)/6, (7.6)

где K₁=f (x _i, y_i),

K₂=f (x_i+ h /2,y_i+ h k₁/2),

K₃=f (x_i+ h /2, y_i+ h k₂/2),

K₄=f (x_i+h, y_i+ h k₃).

Метод Рунге-Кутты применим к системам уравнений первого порядка, а также к уравнениям любого порядка, которые можно свести к системам уравнений первого порядка путем замены переменных.

Так для уравнения второго порядка метод Рунге-Кутты имеет следующий алгоритм. Исходное уравнение задачи Коши

y´´= f (x, y, y´) (7.7)

с начальными условиями y₀ = у(х₀) и y´₀ = y´ (х₀) преобразуется к системе двух уравнений

y´= z = g (x, y, y´), при y´₀ = y´ (х₀) = z (х₀) = z₀

z´= f (x, y, y´) при y₀ = у(х₀). (7.8)

Далее

у_i+1 = у_i + К, (7.9)

где К = h (К₁ + 2К₂ +2К₃ + К₄)/6 ,

К₁ = g (x _i, y _i, z _i), К₂ = g (x _i + h/2, y_i + К₁h/2, z _i + L₁h/2),

К₃ = g (x _i + h/2, y_i + К₂h/2, z _i + L₂h/2), К₄ = g (x _i + h, y _i + К₃h, z _i + L₃h),

z _i+1 = z _i + L , (7/10)

где L = h (L ₁ + 2 L ₂ + 2L ₃ + L ₄)/6 ,

L ₁ = f (x _i, y _i, z _i), L ₂ = f (x _i + h/2, y_i + К₁h/2, z_i + L₁h/2),

L ₃ = f (x _i + h/2, y_i + К₂h/2, z_i + L₂h/2), L ₄ = f (x _i + h, y_i + К₃h, z _i + L₃h).

Метод Рунге-Кутты обладает достаточно высокой точностью, легко программируется. С помощью этого метода можно начинать решение – он самостартующий, так как нужно знать одно значение y_i. Величину шага можно изменять на любом этапе вычислений. К недостаткам метода можно отнести большие затраты времени, так как в каждой точке функция рассчитывается четыре раза, и сложность определения ошибки метода.

Погрешность метода Рунге-Кутты на одном шаге сетки равна Mh⁵, но поскольку на практике М оценить сложно, пользуются правилами Рунге удвоения шага. Выполняют расчет функции у_i+1⁽¹⁾ в точке х_i+1 методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности с шагом h, а затем рассчитывают этим же методом у_i+1⁽²⁾ в точке х_i+1 с шагом h/2. По полученным значениям функции определяют погрешность

δ=Σа_i(у_i+1⁽¹⁾- у_i+1⁽²⁾ )/15 (7.11)

Если δ > ε, где ε – заданная точность, то шаг уменьшают вдвое. Если

δ < ε – результаты счета с шагом h достаточно точные. Если δ < ε/50 – шаг удваивают.