4.Приложения производной к решению физических задач

Как известно, производная характеризует мгновенную скорость прямолинейного движения. Однако этим не исчерпывается использование производной. При изучении неравномерно меняющихся величин скорость их изменения всегда выражается с помощью производной.

Понятие скорости, заимствованное из физики, удобно при исследовании поведения любой функции. Какую бы зависимость ни выражала функция , отношение есть средняя скорость изменения функции относительно изменения аргумента , а – мгновенная скорость изменения функции при некотором значении .

Так как в практических приложениях нас обычно интересует не только сама функция, но и скорость её изменения, то производная, будучи характеристикой скорости изменения функции, имеет самые широкие практические применения в вопросах физика, химии, геометрии и т.д. Приведём некоторые конкретные примеры использования понятия производной при определении скорости различных процессов.

Предположим, что в момент времени t масса ещё не распавшегося радиоактивного вещества была равна m, а через некоторое время, в момент , асса его уменьшилась (так как часть вещества превратилась в продукт распада) и стала равна (здесь отрицательно, поскольку масса радиоактивного вещества с течением времени уменьшается). Таким образом, за время масса имевшегося радиоактивного вещества изменилась на .

Отношение представляет собой среднюю скорость распада за промежуток времени . Чем меньше этот промежуток, тем точнее указанное отношение выражает мгновенную скорость распада. Поэтому можно сказать, что мгновенная скорость распада в момент времени t равна .

Мгновенная мощность есть производная , где - работа, совершаемая за время .
Если V – объем жидкости, на который действует внешнее давление Р, то производная , дает коэффициент сжатия жидкости при данном давлении.
Если твердое тело вращается вокруг оси, то угол поворота есть функция от времени t. Угловая скорость вращения в данный момент t численно равно производной .
Сила тока есть производная , где – положительный электрический заряд, переносимый через сечение проводника за время .
Теплоемкость при температуре Т есть производная , где – количество теплоты, необходимое для измерения температуры на .

Тема I « Предел и непрерывность функции»:

Предел переменной величины.

Х – переменная величина, принимает следующие значения: 4,9; 4,99; 4,999;… или 5,1; 5,01; 5,001;… т.е. в этом случае модуль разности стремится к нулю: =0,1; 0,01; 0,001;…

5 – предел переменной величины Х и пишут

Опр.№1: Постоянная величина a называется пределом переменной x, если модуль разности при изменении х становиться и остается меньше любого как угодно малого положительного числа (Эпсилон).