Сравнения по простому модулю

Теорема 13.12. Пусть – простое число, , тогда сравнение эквивалентно сравнению степени не выше .

Доказательство. Разделим многочлен на с остатком, получим

,

где или . Но , поэтому

,

что и требовалось.

Теорема 13.13. Пусть сравнение имеет более решений. Тогда все коэффициенты многочлена в левой части делятся на .

Доказательство. Пусть сравнение имеет, например, решение. Обозначим вычеты этих решений через . Представим многочлен из левой части сравнения в виде

Такое представление возможно, ибо, раскрывая произведения в правой части и представляя их в виде многочленов, коэффициент возьмем в виде разности коэффициентов при и первого многочлена, коэффициент – в виде разности коэффициентов при и первых двух многочленов и т.д. А затем положим и убедимся, что , после чего положим и получим, что , но , поэтому . Продолжая этот процесс, убеждаемся что все коэффициенты кратны , но тогда и все коэффициенты исходного вида – кратны как суммы чисел кратных .

Теорема 13.14 (критерий простоты Вильсона).

Натуральное число является простым тогда и только тогда, когда выполнено условие

. (13.9)

Доказательство. Если , то результат очевиден. Пусть .

Необходимость. Рассмотрим сравнение

.

Это сравнение имеет степень не выше , но при этом имеет не менее чем решение. Тогда по теореме 13.13 все коэффициенты многочлена, стоящего в левой части, должны быть кратны , и значит, свободный член, что и требовалось.

Достаточность. Докажем от противного. Пусть выполнено (13.9) , и – число составное, скажем , где . Тогда множитель обязательно встретится в произведении , и так как и значит , то свойству делимости должно быть , что невозможно. Противоречие доказывает достаточность.

Рассмотрение решения сравнений по модулю, равному степени простого числа, оставляем для дополнительного чтения учебной литературы.

Сравнения второй степени

В этом параграфе тоже ограничимся сравнениями по простому модулю. Последующие приложения в основном будут связаны с этим случаем, причем модуль предполагается нечетным. Само сравнений имеет вид:

.

Покажем, что это сравнение можно свести к двучленному случаю. Действительно, пусть сначала . Тогда умножим обе части сравнения на , где . Получим

,

.

Сделаем замену: и . Тогда имеем сравнение вида

.

Если же , запишем исходное сравнение в виде

.

Теперь коэффициент при снова четный, и можно повторить предыдущее рассуждение.

Таким образом, достаточно изучать указанные выше двучленные сравнения.

Определение 13.18. Пусть простое и . Целое называется квадратичным вычетом по модулю , если сравнение

13.10)

имеет решение. В противном случае называется квадратичным невычетом по этому модулю.

Лемма 13. 26. Если число является квадратичным вычетом, сравнение (13.10) имеет два решения.

Доказательство. Если решением сравнения является вычет , то очевидно, что тоже будет решением. Это второе решение отлично от первого, ибо, если , то . Но это невозможно, так как . Более двух решений это сравнение иметь не может по теореме 13.13.

Лемма 13.27. Приведенная система вычетов по модулю содержит квадратичных вычетов и квадратичных невычетов по модулю .

Доказательство. Рассмотрим ряд чисел . Все они, очевидно, являются квадратичными вычетами по модулю . Но квадратичными вычетами будут те и только те числа, которые сравнимы с квадратами ПрСВ. Остается показать, что указанные квадраты представляют различные классы по модулю . Если напротив найдутся такие и , где , такие, что , то и . Значит, или , что невозможно. Лемма доказана.

Определение 13.19. Пусть – простое нечетное. Символом Лежандра (читается « по ») называется арифметическая функция, определяемая равенством:

Это определение иногда для удобства дополняют значением 0 для

Вычисление символов Лежандра возможно при помощи следующей теоремы.

Теорема 13.15 (критерий Эйлера).

Если , то

.

Доказательство. В соответствии с малой теоремой Ферма (см. следствие 1 из т.13.8) имеем . Это приводит к сравнению

.

Содержимое двух полученных скобок не может одновременно делиться на , ибо тогда на делилась бы их разность, а она равна 2, что невозможно. Тогда имеет место одно из сравнений

или

.

Всякий квадратичный вычет должен удовлетворять сравнению для некоторого х. А значит и сравнению, полученному из данного возведением обеих частей в степень , т.е.,

.

Следовательно, выполняется первое сравнение. Учитывая, что сравнение

не может удовлетворяться большим количеством решений чем по теореме 13.13,

то остальные вычеты ПрСВ удовлетворяют второму сравнению, являясь квадратичными невычетами по модулю .

Пример 13.23. Пусть , а , тогда так как , то и значит 6 – квадратичный невычет по модулю 17.

Пример 13.24. Пусть , а , тогда так как , то и значит 6 – квадратичный вычет по модулю 71.

Рассмотрим свойства символа Лежандра.

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. .

Доказательства первых пяти весьма просты. Действительно, первое свойство очевидно. Второе легко следует из теоремы 13.15 с . Кстати, можно в этом случае вычислять символ и иначе: если , то значение символа равно 1, а если , то значение равно -1. После третьего свойства убеждаемся, что символ – вполне мультипликативная функция. А доказательство можно провести так:

.

Легко видеть, что отношение сравнимости здесь превращается в отношение равенства. Четвертое свойство является прямым следствием третьего. Пятое свойство вновь следует из теоремы 13.15. Наконец, свойство 6 придется доказывать аккуратно. Введем для простоты обозначение и рассмотрим ряд сравнений (считаем, что ):

где – абсолютно наименьший вычет , при этом , . По лемме 13.25 числа , где , пробегают приведенную систему вычетов по модулю , а , , их абсолютно наименьшие вычеты. Из последних положительные должны совпадать с числами . Перемножим теперь выписанные выше сравнения и сократим обе части полученного сравнения на величину

.

Тогда находим

.

Отсюда имеем

.

Далее рассмотрим величину

.

Величина слева будет четной или нечетной в зависимости от того, будет ли наименьший неотрицательный вычет числа меньше или больше , т.е., будет ли или . Отсюда следует, что

и

.

Предполагая нечетным, преобразуем последнее равенство:

Тогда .

Теперь при получаем искомую формулу. При этом для нечетного имеем

. (13.11)

Следствие.

Результат легко проверяется непосредственно.

Теорема 13.16 (закон взаимности квадратичных вычетов).

Если и – различные простые нечетные, то

.

Следствие.

Здесь тоже легко проверяется выписанный результат.

Доказательство теоремы. Положим и рассмотрим пар чисел, получаемых, когда в выражениях и числа и пробегают соответственно и независимо друг от друга системы значений:

, .

Не может быть такого, чтобы выполнялось равенство , потому что из этого равенства следовало бы, что , но (последнее оттого, что ). Поэтому положим , где – число пар с , а – число пар с .

Легко заметить, что есть число пар с . При этом нет противоречия с неравенством , так как из следует . Поэтому

,

Аналогично

.

Применим формулу (13.11). Имеем

, .

Поэтому

,

что и требовалось.

Пример 13.25. Пусть надо вычислить . Имеем

.