XIII.
АРИФМЕТИКА
Теория делимости
В этой главе основным множеством будет кольцо целых рациональных чисел. Так как традиционная арифметика занимается, как правило, свойствами обычных целых чисел. Начнем с известных результатов.
Определение 13.1. Пусть
и
.
Тогда говорим, что
делится на
,
или
делит
,
если существует такое
,
что выполняется равенство
.
Число называют делимым, а число – делителем (рассматриваем положительные делители).
Рассмотрим некоторые простейшие свойства делимости.
1.
Если
и
,
то
.
Таким образом, бинарное отношение
делимости обладает свойством
транзитивности.
2.
Если
,
то
.
3.
Если
,
то для любого
.
4.
Если
,
то для любых
.
5. Любое число делится на 1.
Проверку свойств оставляем студентам.
Теорема 13.1 (о делении с остатком).
Пусть
и
.
Тогда существуют однозначно определенные
целые числа
и
такие, что выполняется равенство
,
(13.1)
где
.
Число
называется неполным частным, а число
– остатком от деления.
Доказательство. Существование.
Если
,
то выбираем ближайшее к
кратное числу
и не превосходящее
,
т.е.,
,
а тогда
.
Если
,
то снова выбираем ближайшее к
кратное числу
и не превосходящее
,
но уже с отрицательным
.
И тогда опять
.
Случай
тривиален.
Единственность. Если предположить,
что существуют два различных представления
вида (13.1), например,
и
такие, что
и
,
то, вычитая из первого второе, получаем
,
т.е.,
.
Так как
,
то
не может делить такое число, если оно
не равно нулю. Получаем противоречие.
Значит,
,
а тогда
,
но и
,
т.е.
.
Теорема доказана.
Определение 13.2. Если
и
,
то число
называется общим делителем чисел
и
,
а наибольшее из них называется наибольшим
общим делителем (НОД) и обозначается
.
Существование НОД двух целых чисел не вызывает сомнений. Остается указать способ нахождения такого числа. Но предварительно отметим следующие результаты.
Лемма 13.1. Если
,
то совокупность общих делителей
и
совпадает с совокупностью делителей
числа
.
Значит, в частности,
.
Лемма 13.2. Если три целых числа
связанны соотношением
,
то совокупность общих делителей
и
совпадает с совокупностью общих делителей
и
.
В частности,
.
Алгоритм Евклида.
Пусть требуется найти НОД двух
натуральных чисел
и
.
Для определенности считаем, что
.
Тогда применим следующую процедуру
деления с остатком.
,
;
,
;
,
;
. . . . . . . . . . .
,
;
,
;
,
;
;
Легко понять, что при данном процессе
остатки от деления образуют строго
убывающую последовательность целых
неотрицательных чисел, что в итоге
обязательно приводит к остатку, равному
0. Покажем, что последний отличный от
нуля остаток и будет наибольшим общим
делителем чисел
и
.
В данном случае это будет
.
Действительно, применим лемму 13.2. Имеем
.
Последнее равенство получается по лемме 13.1.
Кроме того, можно заметить, что НОД чисел и делится на любой их общий делитель в соответствии с той же леммой 13.2.
Пример 13.1. Пусть требуется найти
.
Применим алгоритм Евклида. Имеем
Последний отличный от нуля остаток
равен 2. Значит,
.
Теорема 13.2 (линейное представление НОД двух чисел).
Пусть
.
Тогда существуют такие целые
и
,
что
.
Доказательство. Воспользуемся равенствами из алгоритма Евклида. Они позволяют записать, что
.
Заменяя последовательно остатки на предшествующие остатки и неполные частные, поднимаясь по лестнице равенств, в итоге выразим число указанным в формулировке образом.
Отметим свойства НОД двух чисел.
1.
.
2.
.
3.
Доказательства оставим студентам и дадим еще одно определение.
Определение 13.3. Числа и называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
Опишем некоторые свойства взаимно простых чисел.
1.
Если
и
,
то
.
2.
Если
и
,
то
.
3.
Если
и
,
то при
.