Характеристический многочлен линейного оператора
Нахождение собственных векторов удобно начинать с вычисления соответствующих собственных значений. Пусть – линейное пространство и оператор имеет собственный вектор х, отвечающий собственному значению . Таким образом, . Это равенство можно переписать иначе:
,
или
,
что означает по правилу суммы операторов
.
Отсюда получаем (ввиду неравенства нулю
вектора х), что оператор
– вырожденный, т.е.,
.
Зафиксируем какой-либо базис в пространстве
Х. Скажем –
.
Тогда в этом базисе у оператора появляется
матрица
.
И по соответствию между действиями над
операторами и соответствующими им
матрицами находим, что матрица
в свою очередь вырожденная, т.е.,
.
Покажем, что левая часть последнего
равенства не зависит от выбора базиса.
Действительно, если выбрать другой
базис, например,
и определить
как матрицу перехода от
к
,
то для новой матрицы
будем иметь соотношение
.
Построим аналогичный определитель с
матрицей
.
Тогда находим, что
Таким образом, выражение
лишь формально зависит от выбора базиса.
Вычисляя это определитель, получим
.
(9.8)
Учитывая тот факт, что коэффициенты
полученного многочлена не зависят от
выбора базиса и способа вычисления
определителя, они являются характеристиками
оператора, а сам многочлен называется
характеристическим многочленом
данного оператора. Эти коэффициенты
можно явно представить, Например,
.
Итак, каждое собственное значение линейного оператора А обязано быть корнем его характеристического многочлена. С другой стороны, если выбрать некоторый корень этого многочлена , то понятно, что
.
Значит, матрица – вырожденная, а с ней и оператор вырожден, т.е., существует вектор такой, что
,
откуда сразу получаем, что , а это говорит о том, что вектор х – собственный, отвечающий собственному значению . Следовательно, получена
Теорема 9.12.
Корни характеристического многочлена линейного оператора, действующего в пространстве над полем Р, лежащие в поле Р, и только они являются собственными значениями этого оператора.
Возникает естественный вопрос: если
каждый линейный оператор обладает
характеристическим многочленом, то
всякий ли многочлен
степени
является характеристическим для
некоторого оператора в
-
мерном пространстве над полем Р?
Ответ оказывается положительным. Такой
многочлен (если пользоваться выражением
(9.8)) доставляет матрица
.
Непосредственное вычисление дает выражение (9.8). Эта матрица называется матрицей Фробениуса.
Как известно, не в каждом поле заданный многочлен может иметь корень. И, следовательно, соответствующий оператор иметь собственный вектор. Посмотрим на пример оператора поворота с такой вот алгебраической точки зрения.
Пример 9.21. Выберем в пространстве
ортогональный базис
,
,
и построим соотношения (9.2):
Отсюда получаем матрицу :
.
Тогда
.
Так как пространство
вещественное, а многочлен
не имеет вещественных корней, то оператор
А не имеет собственных значений, а
значит и собственных векторов.
Совсем другое дело, если рассматривать операторы, действующие в комплексном пространстве. В это случае основное поле – поле С – алгебраически замкнуто. Каждый многочлен положительной степени имеет в нем корень. Тогда и соответствующие операторы обладают собственными значениями, и, значит, собственными векторами. Более того, если многочлен имеет попарно различных корней, то соответствующий оператор имеет ровно собственных подпространств. Все это приводит к тому, что естественно заниматься операторами в комплексных пространствах.