Эквивалентность и подобие матриц

Основной задачей этого параграфа является выяснение вопроса о простейшем виде матрицы оператора .

Определение 9.14. Пусть заданы две матрицы .Матрица В называется эквивалентной матрице А, если существуют такие матрицы и такие, что .

Лемма 9.9. Бинарное отношение эквивалентности матриц на множестве матриц данного размера над полем Р есть отношение эквивалентности.

Доказательство. Рефлексивность проверяется равенством . Симметричность следует из равенства , ибо С и – невырожденные. Пусть теперь и . Тогда , что означает эквивалентность матрицы матрице А. Таким образом, транзитивность тоже выполняется, ибо и как произведения невырожденных матриц одного порядка.

Лемма 9.10 (первый критерий эквивалентности матриц).

Две матрицы одного размера над полем Р эквивалентны тогда и только тогда, когда являются матрицами одного линейного оператора в подходящим образом выбранных базисах.

Доказательство. Необходимость. Если матрица эквивалентна матрице , то выполняется равенство с и . Если рассматривать матрицу А как матрицу линейного оператора из в некоторых базисах и , то интерпретируя матрицы и как матрицы перехода к новой паре базисов, получаем требуемое.

Достаточность. Если матрицы А и В – это матрицы одного оператора для разных пар базисов, то равенство (9.4) доставляет требуемое.

Теорема 9.9 (второй критерий эквивалентности матриц).

Две матрицы одного размера над полем Р эквивалентны тогда и только тогда, когда имеют одинаковые ранги.

Доказательство. Необходимость. Пусть матрица эквивалентна матрице , то для некоторых и

.

Вычислим ранг В.

.

Здесь воспользовались следствием из теоремы 6.2 об умножении на невырожденную матрицу.

Достаточность. Пусть теперь для матриц из предыдущей части доказательства. Покажем большее. Покажем, матрицы В и А эквивалентны каждая матрице , где

.

Здесь в левом верхнем углу расположена единичная матрица порядка , а остальные элементы равны нулю.

Действительно, пусть линейный оператор, действующий из - мерного пространства Х в - мерное пространство . И пусть матрица А будет матрицей этого оператора в базисах и . Таким образом, . Тогда ранг этого оператора равен числу . Следовательно, при известной перенумерации базисных векторов можно считать, что . При этом

.

Построим новую пару базисов для записи матрицы оператора А : и . Положим в Х

А в пространстве

В этой паре базисов матрица оператора А приобретает вид .Формально, надо бы доказать, что система – базисная, но оставим это студентам. Теорема доказана.

Теорема 9.9 говорит о том, какова простейшая форма записи матрицы оператора из . Это как раз матрица с точностью до перестановки векторов в базисе. В силу свойства транзитивности отношения эквивалентности матриц эта матрица подобна любой матрице ранга над полем Р. Такой простой вид возможен от того, что базисы в Х и выбираются независимо. Случай операторов из гораздо более сложен. Ему будет посвящено все остальное исследование этой главы.

Определение 9.15. Матрица называется подобной матрице , если существует такая матрица такая, что . Матрица называется матрицей подобного преобразования.

Лемма 9.10. Бинарное отношение подобия матриц на множестве всех квадратных матриц данного порядка над полем Р есть отношение эквивалентности.

Доказательство очень похоже на доказательство леммы 9.9.

Лемма 9.11 (первый критерий подобия матриц).

Две квадратные матрицы одного порядка над полем Р подобны тогда и только тогда, когда являются матрицами одного линейного оператора в подходящих базисах.

Доказательство и этой леммы во многом повторяет доказательство леммы 9.10.

Вопрос о подобии матриц достаточно сложен и будет в дальнейшем увязан с теорией операторов из . Здесь же будет решаться и вопрос о наиболее простом виде матрицы таких операторов.