Мультипликативная группа операторов
В теореме 9.1 была построена аддитивная группа операторов из . Интересно сделать попытку построения мультипликативной группы, но в данном случае придется ограничиться множеством . Но оказывается, что этого ограничения недостаточно. Требуется существенно более узкое множество. Причина будет выяснена ниже.
Определение 9.13. Линейный оператор
называется невырожденным, если его
ядро равно
,
т.е.,
.
В противном случае он называется
вырожденным.
Нам потребуется теорема, позволяющая посмотреть на феномен невырожденности с разных сторон.
Теорема 9 6 (условия невырожденности линейного оператора).
Следующие высказывания для оператора эквивалентны:
1.
Оператор А невырожденный;
2. ;
3.
;
4.
;
5. А – сюръекция;
6. А – инъекция;
7. А – биекция;
8. А – автоморфизм ( изоморфизм на себя).
Доказательство. Вначале запишем очевидную цепочку заключений, опирающуюся на определение и теорему 9.5:
Невырожденность
А –сюръекция. Докажем теперь
инъективность А, исходя из его
невырожденности. Рассуждаем от противного.
Пусть А не является инъекцией. Тогда
найдутся два вектора
и
такие, что
,
но
,
что влечет
,
т.е.
,
но так как
,
то
.
Противоречие доказывает инъективность
А. Обратно, пусть теперь А
инъективно, но
.
Значит, найдется вектор
такой, что
.
Выберем два различных вектора
и
.
Очевидно,
,
но
.
Таким образом получаем противоречие с
инъективностью А. Ну а тогда имеем:
.
Остальные эквивалентности очевидны.
Теорема доказана.
Обозначим множество линейных
невырожденных операторов из
через
.
Теперь можно приступать к построению группы.
Теорема 9.7. Пара
группа.
Доказательство. Здесь придется
проверить выполнимость аксиом группы.
Начнем с алгебраичности операции.
Разумеется, любые два оператора из
можно
перемножить. Пусть
.
Тогда, если бы существовал вектор
такой, что
,
то
,
что невозможно. Таким образом, операция
умножения алгебраична. Ассоциативность
по понятным причинам доказывать не
нужно. А нейтральным элементом, очевидно,
будет
.
Остается аксиома симметричных элементов.
Необходимо, чтобы
.
Но так как по теореме 9.6 операторы из представляют собой биекции, то обратимость отображений обеспечена (см. гл. I, т.1.2) . Остается показать, что обратные отображения являются линейными и невырожденными. Сначала выявим свойство линейности. Требуется, чтобы для любых и любых
.
Вычислим образы правой и левой части под действием А и пользуясь биективностью А сделаем соответствующее заключение. Имеем
и
.
В последнем случае воспользовались линейностью . Итак, видим, что образы обеих частей гипотетического равенства равны. Тогда в силу биективности получаем, что прообразы равны, что завершает доказательство линейности.
Невырожденность
следует из того, что если для
,
то тогда
.
Получаем противоречие. Таким образом, теорема полностью доказана.
Замечание. Используя невырожденные
операторы можно строить циклические
мультипликативные группы. Выбираем
порождающий элемент
и рассматриваем всевозможные степени
этого оператора:
.