IX. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В КОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
Введение
Идея линейности пронизывает всю математику. В данном случае эта идея формально выступает в виде специальных отображений в линейных пространствах, которые назовем в свою очередь линейными. Построенная теория имеет много точек соприкосновения с другими математическими теориями, а в данном курсе существенно использует материал предыдущих глав. Если не оговорено противное, везде используется числовое поле Р.
Определение 9.1. Пусть заданы два
линейных пространства над одним и тем
же полем
и
.
Отображение
пространства
в пространство
называется
линейным, или линейным оператором, если
для любых
и любых
выполнено
.
(9.1)
Как правило, в дальнейшем будет
использоваться термин «линейный
оператор» или просто «оператор»,
подразумевая линейность последнего.
Обозначать операторы будем большими
латинскими буквами: А, В, С,
… Кроме того, в простейших случаях будем
экономить скобки, например, вместо
будем писать
.
Равенство (9.1) иногда выгодно расписать в два:
,
аддитивное свойство А;
,
свойство однородности А;
,
.
Определение 9.2. Оператор
,
определяемый соотношением
называется нулевым оператором.
Такой оператор, очевидно, линеен.
Определение 9.3 Оператор
,
определяемый соотношением
называется единичным.
Такой оператор тоже линеен.
Определение 9.4. Оператор
,
определяемы соотношением
,
называется скалярным.
Скалярный оператор тоже линеен и при
,
а при
.
Приведенные определения стандартных операторов являются простейшими примерами линейных отображений. Рассмотрим более сложные примеры.
Пример 9.1. Изоморфизм линейных пространств (см. гл.V).
Пример 9.2. Пусть
,
.
Зададим отображение
соотношением:
.
Получим линейный оператор.
Пример 9.3. Оператор транспонирования квадратных матриц из является линейным, если вспомнить свойства транспонирования.
Пример 9.4. Пусть
– прямая сумма подпространств. Определим
оператор
прямого проектирования соотношением:
,
где
.
Это, очевидно, линейный оператор.
Пример 9.5. Пусть
евклидово пространство и
подпространство в
,
тогда оператор
определим равенством:
.
Оператор назовем оператором ортогонального
проектирования. В силу свойства проекции
он является линейным.
Пример 9.6. Пусть
,
оператор
определим равенством:
.
В силу свойств производной оператор
является
линейным.
Пример 9.7. Пусть
,
,
.
Оператор
вновь определим равенством
.
Этот оператор в отличие от предыдущего
«работает» в конечномерных пространствах.
Пример 9.8. Пусть
,
.
Оператор
определим соотношением:
.
В силу свойств определенного интеграла
это линейный оператор. Этот пример
приводит к следующему определению.
Определение 9.5. Линейный оператор, действующий из любого пространства в поле, над которым оно задано, называется линейным функционалом.
Пример. 9.8. Пусть
,
тогда линейным функционалом будет
оператор
,
задаваемый условием:
.