Понятие об унитарном пространстве
По аналогии с евклидовыми пространствами рассматривают комплексные пространства со скалярным произведением.
Определение 8.20. Комплексное
линейное пространство
называется унитарным, если для него
определено отображение
,
называемое скалярным произведением
при условии выполнения следующих аксиом:
1.
;
2. ;
3. ;
4.
;
.
Как видно, аксиомы скалярного
произведения мало отличаются от
соответствующих аксиом евклидова
пространства. Собственно, отличие лишь
одно – в первой аксиоме, где отмечается,
что перемена местами векторных
сомножителей приводит к комплексно
сопряженному результату. Поэтому аналог
свойства
выглядит следующим образом:
.
Учитывая тот факт, что ввод в обращение
евклидовых пространств в основном
связан с определением метрических
понятий, в унитарных пространствах
аналогично определяются понятия длины
вектора и расстояния между векторами.
Вся теория ортогональности может быть
без купюр перенесена на унитарные
пространства. В частности, понятие
ортонормированного базиса и процесса
ортогонализации. В ортонормированном
базисе
скалярное произведение представляется
так:
.
(8.6)
Угол между векторами не вводится и поэтому для него нет измерения, а неравенство Коши-Буняковского можно записать в несколько измененном виде:
.
Доказательство протекает так же, как и в вещественном случае.
Роль черты комплексного сопряжения
в первой аксиоме легко иллюстрируется
следующим примером. Пусть в пространстве
задан вектор
,
а скалярное произведение задано так,
как в примере 8.2. Тогда
,
Это неприятно, ибо вектор а ненулевой. С другой стороны, если воспользоваться произведением (8.6), то получим
,
что можно считать естественным.