Измерения в евклидовом пространстве
В этом параграфе станет понятной причина введения скалярного произведения в произвольном вещественном пространстве. Но приходится начинать несколько издалека. Сначала докажем одно универсальное неравенство.
Теорема 8.6 (неравенство Коши-Буняковского).
Для любых двух векторов
евклидова
пространства
справедливо неравенство:
.
Доказательство. Заметим сразу, что если один из векторов равен нулю, то неравенство становится тривиальным. Будем считать, что векторы не равны нулю. Тогда легко получим:
.
Выберем множитель
специальным
образом. Пусть
.
Тогда имеем
,
что доказывает утверждение.
Пример 8.6. Для пространства
со стандартным скалярным произведением
из примера 8.2 неравенство К-Б выглядит
традиционным образом: пусть
,
,
то
,
или
.
Неравенство в теореме 8.6 нестрогое. Представляет интерес вопрос о достижении в нем равенства.
Лемма 8.4. Равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы коллинеарны.
Доказательство. Необходимость.
Вновь считаем, что
.
Тогда его можно переписать в виде
или
.
Выбирая
получим, что
.
Таким образом, скалярный квадрат равен
нулю, следовательно
,
т.е.
.
Достаточность. Если
,
то получаем с одной стороны
,
а с другой –
,
что завершает доказательство.
Определим теперь основные метрические понятия в евклидовом пространстве.
Определение 8.12. Пусть
– евклидово пространство и
,
тогда длиной вектора а называется
вещественное число
,
т.е. арифметический корень квадратный
из скалярного квадрата вектора.
Это определение подчиняется естественным свойствам длины:
1.
;
2.
,
если
;
3.
– свойство абсолютной однородности.
Определение 8.13. Пусть – ненулевые векторы. Тогда косинусом угла между данными векторами называется величина
,
.
Если хотя бы один вектор нулевой, то угол считается неопределенным.
Это определение нуждается в пояснении,
ибо в правой части равенства стоит
обозначение вполне определенной функции
косинус. Можно ли гарантировать указанной
правой частью, что перед нами функция
косинус? В пользу такого определения
говорят следующие факты. Во-первых, из
неравенства Коши-Буняковского следует,
что правая часть равенства не превосходит
по модулю единицы, что согласуется с
определением косинуса; во-вторых, случай
коллинеарности доставляет значение
угла 0 или
;
в третьих, ортогональность а и
дает
значение угла, равное
;
наконец, в четвертых, видно, что умножение
векторов на положительные числа не
меняют величины угла. Все это говорит
о том, что данное определение является
вполне разумным.
Рассмотрим некоторые известные
факты из школьной геометрии применительно
к геометрии евклидова пространства.
Пусть вновь заданы два ненулевых вектора
.
Будем рассматривать их как две стороны
обобщенного треугольника. Тогда третьей
стороной естественно объявить разность
,
вспоминая направленные отрезки. Вычислим
квадрат длины третьей стороны, используя
формулу для угла:
.
В итоге получаем известную теорему
косинусов. В случае, если
,
то построенный треугольник является
прямоугольным. И из последней формулы
получаем теорему Пифагора:
.
Из той же формулы можно получить известные
соотношения между длинами сторон
треугольника, если оценивать множитель
сверху и снизу, а именно:
,
и тогда
.
Или
,
и тогда
.
Введем, наконец, понятие расстояния между двумя векторами евклидова пространства.
Определение 8.14. Расстоянием
между двумя векторами
и
евклидова
пространства
называется вещественное число
,
определяемое соотношением
.
Так определенная двуместная функция действительно может рассматриваться как функция расстояния. Она обладает следующими свойствами:
1.
;
2.
;
3.
;
4.
– неравенство треугольника;
.
Последнее неравенство легко доказывается,
если в первом соотношении для длин
сторон треугольника сделать замену
,
.
Определение 8.15. Непустое множество
М называется метрическим пространством,
если для него определено отображение
,
обладающее указанными свойствами 1
–
4
.
С точки зрения последнего определения в случае с евклидовым пространством имеем дело с пространством метрическим. Таким образом, отчасти поставленная в начале главы цель выполнена. Но есть еще и некоторые другие задачи. В завершение параграфа дадим еще одно определение.
Определение 8.16. Пусть – два непустых подмножества евклидова пространства. Тогда расстоянием между множествами А и В называется величина
.
Вопрос. Чему равно расстояние между двумя подпространствами в Е?