Основная теорема алгебры

Название соответствующей теоремы сугубо историческое, восходящее к временам, когда вопросы нахождения корней алгебраических уравнений считались основными в алгебре. С тех пор многое изменилось в алгебраической науке, а название осталось. Более того, теорема формулируется лишь для числовых полей. Надо сказать, что для многочленов первых четырех степеней еще в позднем средневековье были получены формулы общего вида, позволяющие конструировать корни из коэффициентов многочлена с помощью арифметических операций и операции извлечения корня (как говорят «в радикалах»). Все попытки получить подобное для многочленов более высокой степени, скажем пятой, потерпели неудачу. В 1824 году Н.Г.Абель доказал, что такие формулы для общего многочлена с числовыми коэффициентами не существуют. За несколько лет до него независимо подобный результат получил итальянец П. Руффини. Правда, его доказательство содержало пробелы. Некоторые простейшие алгебраические уравнения сколь угодно высокой степени легко разрешимы. Поэтому окончательный результат здесь был получен Э. Галуа, который доказал теорему о разрешимости в радикалах общего алгебраического уравнения.

Теорема 3 12 (основная теорема алгебры).

Каждый многочлен с числовыми коэффициентами положительной степени имеет, по крайней мере, один корень в общем случае комплексный.

Эту теорему доказывать не будем ввиду ее громоздкости. А рассмотрим следствия, которые представляют значительный интерес.

Следствие 1. Каждый многочлен положительной степени над числовым полем разлагается над полем комплексных чисел на линейные множители (множители первой степени). Указанное разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей.

Доказательство. Существование. В силу теоремы многочлен имеет корень . По следствию из теоремы Безу (т. 3.8) имеем:

,

где – многочлен с числовыми коэффициентами. Если , то к нему тоже может быть применена основная теорема, т.е., существует такое, что и, таким образом, , где – многочлен с числовыми коэффициентами. Значит,

.

Если , то процедуру выделения корней можно продолжить. Пусть степень равна и – его старший коэффициент. Тогда подобный процесс завершится на шаге. При этом, очевидно будем иметь

.

Число сомножителей-скобок равно , а старший коэффициент проявляется автоматически, ибо старшие члены двух представлений многочлена должны быть равными.

Единственность. Пусть существует еще одно разложение

.

Оно должно содержать тоже сомножителей и старший коэффициент . Приравняем два представления:

.

Правая часть равенства делится на . Это неприводимый многочлен, поэтому он должен делить одну из скобок справа. Пусть это будет . Тогда очевидно, что . В силу того, что является целостным кольцом, в нем возможен закон сокращения на общий ненулевой множитель. Сократим обе части равенства на . Получим новое равенство

.

Рассуждая вышеприведенным образом, далее покажем, что например. И

сократим обе части равенства на , и т.д. В результате докажем единственность представления.

Следствие 2. Неприводимыми многочленами над полем С являются многочлены первой степени и только они.

Следствие 3. Среди корней в разложении из следствия 1 могут встречаться одинаковые. Это дает возможность записать разложение иначе, именно:

,

где для , . Покажем, что числа , , суть кратности соответствующих корней. Действительно, пусть кратность корня равна , тогда . Покажем, что невозможно. Представим многочлен в виде

.

Если теперь разложить многочлен на линейные множители, то при получим разложение существенно другое по сравнению с уже имеющимся , что противоречит единственности данного представления. В итоге получается каноническое разложение многочлена над полем комплексных чисел:

,

где , а суть кратности соответствующих корней, .

Следствие 4. Каждый ненулевой многочлен с числовыми коэффициентами степени имеет ровно корней, если каждый корень считать с его кратностью. В частности, многочлен нулевой степени имеет нуль корней. И только нулевой многочлен имеет больше корней, чем его степень.

Следствие 5. Если многочлены и , степени которых не превосходят , имеют равные значения на более чем значениях буквы х, то .

Действительно, пусть . Заметим, что , но имеет заведомо больше корней, чем его степень. По следствию 3 это означает, что , что влечет равенство . Отсюда можем заключить, что на многочлен при необходимости рассматривается как функция комплексного переменного . И условие функционального равенства эквивалентно формальному равенству.

Следствие 6. Опираясь на предыдущее следствие можно описать многочлен, степень которого не превосходит , по его значениям в точке. Такой многочлен, очевидно, определен однозначно. Действительно, пусть и . Известны его значения в точках соответственно. Тогда многочлен может быть представлен в виде

.

Непосредственно видно, что , а . Такой многочлен, как было показано, определен однозначно. Соответствующая формула называется интерполяционной формулой Лагранжа. Ее можно использовать для аналитического описания результатов эксперимента, по выполненным измерениям в точках . Для уточнения функциональной зависимости проводят дополнительные измерения в промежуточных точках (узлах).

Следствие 7. Пусть

Укажем на связь между коэффициентами многочлена и его корнями . Перемножим скобки в правой части равенства и сравним полученные коэффициенты с коэффициентами исходного вида многочлена. Имеем:

;

;

;

. . . . . . . . . . . . . . .

;

.

Эти формулы называются формулами Ф. Виета, французского математика. Как видим, они носят нелинейный характер и не дают возможности вычислять корни многочлена по его коэффициентам. Правда, если известна дополнительная информация о корнях, то иногда можно получить и корни. Сами по себе они (формулы) являются обобщением соответствующих школьных формул для квадратного трехчлена.

Пример 3.8. Формулы Виета для кубического многочлена:

;

;

.