Неприводимость

В этом разделе будет представлена возможность записи многочлена в т.н. канонической форме. Основным понятием для такой формы служит понятие неприводимости.

Определение 3.11. Пусть задано поле и многочлен . Многочлен называется неприводимым (неразложимым) над полем , если удовлетворяет двум условиям:

1. :

2. Для любых многочленов , таких, что выполнено:

(разлагается на тривиальные сомножители).

В противном случае многочлен положительной степени называется приводимым над данным полем .

Пример 3.3. Пусть задан многочлен . Очевидно, что он неприводим над полем . Но является приводимым над полем . Действительно, .

Он также является приводимым и над любым расширением поля , например, или . Пример показывает, что свойство быть неприводимым является относительным и зависит от поля, над которым рассматривается многочлен. Еще один пример:

Пример 3.4. Многочлен неприводим над полем , но приводим над полем , что немедленно следует из известного разложения .

Неприводимые многочлены напоминают по своим свойствам в кольце простые числа в кольце целых рациональных чисел. Рассмотрим эти свойства.

Свойства неприводимых многочленов.

1. Многочлен первой степени неприводим над любым полем.

2. Если многочлен неприводим над полем , то для любого также неприводим над .

3. Пусть , причем – неприводим над . Тогда или , или

.

4. Если произведение делится на неприводимый многочлен , то или

, или .

Доказательство первых двух свойств тривиально. В третьем, если многочлены не взаимно просты, то у них имеется общий делитель . Для это значит, что , что и доказывает свойство. В четвертом случае можно опираться на третье свойство и соответствующее свойство взаимно простых многочленов.

Теорема 3.7 (основная теорема о неприводимых многочленах).

Каждый многочлен положительной степени над полем разлагается над этим полем в произведение неприводимых многочленов. Это разложение единственно с точностью до порядка следования сомножителей и множителей нулевой степени.

Доказательство. Существование. Пусть задан многочлен , . Если он неприводим над данным полем, то разложение получено. Иначе, он распадается на два множителя над полем . По определению 3.11 и . Если эти многочлены неприводимы над , то разложение получено, а если, например, приводим, он в свою очередь распадается на нетривиальные множители меньшей степени. Продолжая это рассуждение, приходим к выводу, что за число шагов, ограниченное величиной получим соответствующее разложение, возможно на многочлены первой степени.

Единственность. Пусть имеются два разложения на неприводимые над полем многочлены: и . Приравнивая два выражения, получим

.

По свойствам неприводимости многочлен делит правую часть соотношения и, следовательно, делит один из неприводимых над множителей, например, . Тогда с . Используя закон сокращения, разделим обе части равенства на . Получим . Далее, теперь многочлен делит новую правую часть соотношения и, значит, делит, например, . Тогда .

Сократим обе части равенства на и т.д. Ясно, что не может быть , ибо в противном случае имели бы , что невозможно, так как степени неприводимых многочленов положительны. Но не может быть и , так как в этом случае имеем , что тоже невозможно. Поэтому , и два азложения отличаются множителями нулевой степени и, возможно, порядком следования множителей.

Следствие 1. Собирая одинаковые неприводимые множители пол знаки степени можно представить многочлен в виде:

,

здесь для , .

Следствие 2. Если считать неприводимые множители в предыдущем равенстве нормированными (т.е. их старшие коэффициенты равны единице), а и – старший коэффициент , то разложение представляется в виде

.

Это представление многочлена называется каноническим разложением над полем .

Ближайшей задачей теперь будет описать канонические разложения многочленов над полями С и .