III.
МНОГОЧЛЕНЫ НАД ПОЛЕМ
Введение и основные определения
В этой главе будет введено понятие, с которым долгое время связывалось основное содержание алгебры, как раздела математики.
Определение 3.1. Пусть задано
некоторое поле Р,
.
Многочленом от буквы х над полем
Р называется формальное выражение
вида
,
где
,
коэффициенты многочлена;
– натуральное число или нуль;
– буква, формальный символ. При этом
отдельные формальные слагаемые вида
называются членами многочлена. Слагаемое
,
т.е. считается, что
.
Будем считать, что саму сумму можно
дополнять слева членами с нулевыми
коэффициентами.
Определение 3.2. Многочлен, все коэффициенты которого равны нулю, называется нулевым и обозначается 0.
Определение 3.3. Наибольший
показатель степени буквы х, при
которой коэффициент отличен от нуля,
называется степенью многочлена и
обозначается
.
При этом соответствующий член многочлена
называется старшим членом. Нулевой
многочлен степени не имеет.
Пример 3.1. Если
в многочлене из определения, то
.
Как видно из определения, многочлен
можно было бы определять как формальную
сумму его членов. Само понятие суммы
определим позже, как и произведение и,
в частности, считаем, что
.
Многочлены обозначают чаще всего малыми
буквами латинского алфавита с добавлением
обозначения формального символа:
и т.д. Множество всех многочленов от
буквы х над полем Р обозначают
.
Если рассматриваются многочлены с
ограничение на степень, то используется
такое обозначение:
.
Многочленами нулевой степени являются,
по сути, ненулевые константы поля Р.
Хотя формально различают многочлены и
«числа».
Определение 3.4. Два многочлена называются равными, если совпадают их коэффициенты при одинаковых степенях буквы.
Это, кстати, означает, что в записи
все коэффициенты многочлена слева равны
нулю.
Алгебраические структуры на множестве многочленов
Для построения структур требуется введение операций на множестве . Начнем с операции сложения.
Определение 3.5. Пусть заданы два
многочлена
.
Тогда их суммой называется многочлен
,
получающийся формальным приведением
их членов. Точнее,
пусть
и
,
где количество членов уравнивается
дописыванием нулевых слагаемых, тогда
.
Отсюда понятно, что многочлен можно рассматривать действительно как сумму многочленов (одночленов) в смысле приведенного определения. Из определения суммы вытекает простая лемма о степени суммы.
Лемма 3.1.
,
если указанные степени существуют.
Теорема 3.1. Множество многочленов над полем относительно операции сложения образует абелеву группу.
Доказательство этой теоремы состоит в тривиальной проверке аксиом группы. Отметим лишь, что алгебраичность операции следует из определения 3.5. Нейтральным элементом служит, очевидно, нулевой многочлен, а противоположные элементы получаются из данных заменой соответствующих коэффициентов на противоположные.
Определение 3.6. Пусть заданы два многочлена , где
,
.
Их произведением называется многочлен
,
,
где
.
Иными словами многочлен
получается формальным произведением
на
с последующим приведением подобных
членов.
Лемма 3.2.
,
если указанные степени существуют.
Лемма 3.3. Умножение многочленов ассоциативно.
Доказательство. Требуется получить равенство
.
Зададим явно указанные многочлены. Пусть ,
,
.
Кроме этого,
,
,
.
Тогда
.
Теорема 3.2. Множество относительно операций сложения и умножения многочленов образует целостное кольцо.
Доказательство. Здесь можно сослаться на теорему 3.1. Коммутативность и ассоциативность операций, а также дистрибутивность умножения относительно сложения проверяются способом леммы 3.3. Укажем лишь на то, что единицей кольца служит многочлен нулевой степени 1. Отсутствие делителей нуля следует из леммы 3.2.
Возникает естественный вопрос об
обратимости элементов
.
Действительно, пусть
и предположим, что существует многочлен
такой, что
.
Тогда по лемме 3.2 имеем:
.
Отсюда, ввиду неотрицательности степени
многочлена, получаем, что
,
т.е. обратимыми элементами кольца
являются многочлены нулевой степени и
только они.