Вычисление определителей

Как уже отмечалось, вычисление определителей по определению обычно неудобно. Здесь рассмотрим два метода, основанные на использовании свойств этих объектов.

1. Метод приведения к треугольному виду.

Рассмотрим определитель порядка :

.

Если элемент , то, умножая первую строку на элементы и прибавляя соответственно ко второй и т.д. последней строке, получим определитель вида

,

равный исходному в соответствии со свойством 6 . Если же , выведем на первое место любую строку с ненулевым первым элементом и при этом учтем свойство 2 . Наконец, если во всех строках первые элементы равны нулю, т.е. определитель имеет нулевой столбец, то он равен нулю. Далее, если элемент , то проделываем похожую процедуру со второй и нижележащими строками, а если , то выводим на место второго столбца тот, у которого второй элемент отличен от нуля, а если таковых нет, то вторая строка оказывается нулевой, и, следовательно, определитель равен нулю. Продолжая подобного рода преобразования, придем к определителю верхней треугольной матрицы, вычисление которого не составит труда по свойству 5 . Таким образом, действия, предпринимаемые в этом случае либо не меняют определителя, либо меняют его знак на противоположный, что легко учесть.

Пример 4.6. Вычислим определитель приведением к треугольному виду.

.

Минус в последнем случае появился ввиду транспозиции третьей и четвертой строк.

Метод использования теоремы Лапласа.

Этот метод требует дополнительных определений.

Определение 4.16. Пусть задана матрица . Выберем в ней строк и столбцов, где , произвольным образом. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов образуют матрицу -го порядка, определитель которой называется минором -го порядка данной матрицы.

Задача 4.1. 1) Вычислить общее количество миноров -го порядка в матрице ; 2) вычислить общее количество миноров в матрице А.

Определение 4.17. Пусть задана матрица , в которой выбран минор -го порядка, . Вычеркивая строки и столбцы, в которых расположен выбранный минор, получаем матрицу порядка , определитель которой называется дополнительным минором к исходному.

Определение 4.18. Пусть задана матрица , в которой выбран минор -го порядка, . Тогда его дополнительный минор, умноженный на число , где есть сумма номеров строк, а есть сумма номеров столбцов, в которых расположен исходный минор, называется алгебраическим дополнением к заданному минору.

Пример 4.7. Пусть задан определитель

.

Выберем в нем первую и третью строки, а также второй и третий столбец. Тогда можем построить минор второго порядка, а именно:

.

Дополнительным минором к данному будет

.

Наконец, алгебраическим дополнением к данному минору будет

.

Теперь можно формулировать теорему.

Теорема 4.4 (Лаплас).

Если в определителе порядка произвольным образом выбрать строк (или столбцов), где , то определитель представляется в виде суммы произведений миноров -го порядка, расположенных в выбранных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Следствие. Пусть – клеточно-диагональная матрица из определения 4.7. Тогда

.

Рассмотрим частный случай теоремы Лапласа. Именно: .

Теорема 4.5 (о разложении определителя по строке (столбцу)).

Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо его строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Доказательство разобьем на три этапа. Итак, пусть задан определитель -го порядка.

.

1. Покажем сначала, что произведение элемента на его алгебраическое дополнение есть сумма ! членов . Действительно, эта сумма равна

.

В первой сумме видим, что суммирование производится по всем перестановкам длины , а вторая сумма как раз содержит только члены . Единицы, добавленные в начале каждой перестановки не меняют их четности.

2. Теперь покажем, что произведение любого элемента определителя на его алгебраическое дополнение есть сумма ! членов . Для этого переместим элемент в левый верхний угол матрицы, переставляя последовательно -ю строку с вышестоящими строками и -й столбец со стоящими слева от него. Каждая такая транспозиция меняет знаки членов определителя на противоположные (см. свойство 2. ). Всего буде совершено транспозиций. В итоге получим определитель , связанный с исходным соотношением

.

При этом каждый член отличается от соответствующего члена тоже множителем . Ясно, что подобные преобразования не меняют дополнительного минора к элементу . Воспользуемся первой частью доказательства. Так как элемент теперь стоит в левом верхнем углу матрицы, то его произведение на дополнительный минор суть ! членов . Но так как , то получаем, что есть сумма ! членов .

3. Теперь составим сумму произведений . Каждое слагаемое содержит согласно второй части доказательства ! членов . Среди этих членов нет одинаковых по самому устройству суммы, а слагаемых ровно , т.е. выписаны все члены . Следовательно,

,

что требовалось доказать.

К этому результату примыкает еще один несложный факт.

Теорема 4.6 (о «чужих» дополнениях).

Пусть – определитель порядка . Тогда

Доказательство. Рассмотрим определитель матрицы . Прибавим k-ю строку к i-й, отчего определитель матрицы не изменится в соответствии со свойством 6 . Теперь распишем по теореме 4.5 определитель новой матрицы, разлагая его по i-й строке. Получим:

.

Пример 4.8. Вычислим определитель из примера 4.7. Ясно, что выгодно разложить его по второй строке, ибо она содержит нуль. Получим

.

Пример 4.9. Вычислим тот же определитель разложением по теореме Лапласа. Выберем первую и вторую строки для выписывания миноров. Получим

.

Как видно из примеров, теорема Лапласа позволяет уменьшить порядки вычисляемых определителей, но при этом увеличивается их количество.

Теперь рассмотрим результат о связи между умножением матриц и произведением их определителей. На первый взгляд трудно ожидать каких-либо соотношений, но, тем не менее, имеет место следующая теорема.

Теорема 4.7 (об умножении определителей).

Определитель произведения нескольких квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей перемножаемых матриц, т.е.,

, , .

Доказательство проведем для случая . Общий случай легко получается индукцией по . Итак, пусть заданы две матрицы и . Построим вспомогательный определитель порядка . Именно:

.

Структура легко угадывается. . Вычислим разложением по первым строкам, используя теорему Лапласа 4.4. Ясно, что единственным минором -го порядка будет , поэтому . Преобразуем не меняя его величины следующим образом: первый столбец умножим на элемент и прибавим к -му столбцу, второй столбец умножим на элемент и вновь прибавим к -му столбцу и т.д. , наконец, -й столбец умножим на элемент и прибавим к -му столбцу. На местах, где расположены элементы первого столбца матрицы В очевидным образом появятся нули. Подобным же путем обнулим остальные элементы матрицы В. В итоге получим определитель вида

Как легко проследить, в результате обнуления матрицы В в правом верхнем углу формируется матрица С, являющаяся произведением матриц А и В , т.е. . Теперь вновь вычислим определитель , разложением по последним столбцам. В этом случае единственным, вообще говоря, отличным от нуля минором -го порядка является определитель матрицы С. Поэтому , где

, а .

Это в результате дает . Сравнивая два вычисления, получаем требуемое:

.