Понятие о линейном многообразии

Для нужд теории систем линейных алгебраических уравнений введем еще одно понятие.

Определение 5.20. Пусть – линейное пространство и – подпространство в , . Тогда множество

называется линейным многообразием в , или плоскостью в . Подпространство называется направляющим подпространством, а – вектором сдвига линейного многообразия Н.

Рассмотрим простейшие свойства линейного многообразия.

1. Разность двух векторов линейного многообразия принадлежит направляющему подпространству.

2. .

3. Вектором сдвига может выступать любой вектор линейного многообразия.

4. Направляющее подпространство линейного многообразия определено однозначно.

5. .

Определение 5.21. Размерностью линейного многообразия называется размерность его направляющего подпространства.

Определение 5.22. Гиперплоскостью в пространстве называется линейное многообразие, размерность которого равна .

Определение 5.23. Множество всех плоскостей линейного пространства , порожденных одним и тем же направляющим подпространством, называется факторпространством в .

Теорема 5.10. Пусть и два линейных многообразия в пространстве , и пусть . Тогда есть линейное многообразие в , направляющим подпространством которого является .

Доказательство. Если , то в нем сдержится, по крайней мере, один вектор . Построим линейное многообразие и покажем, что . Действительно, каждый вектор вида , где очевидно принадлежит Н. Таким образом, . С другой стороны, понятно, что , и теперь, если , то имеем: