Суммы и пересечения подпространств

В этом разделе будут определены и изучены несколько специальных конструкций в линейном пространстве.

Определение 5.15. Пусть – подпространства в пространстве Х. Тогда множество называется суммой подпространств .

Для случая двух слагаемых можно выделить следующие свойства:

1. ;

2. ;

3. .

Лемма 5.15. Сумма подпространств пространства Х есть подпространство в Х.

Определение 5.16. Пересечением подпространств пространства Х называется теоретико-множественное пересечение соответствующих множеств векторов, т.е., .

Простейшие свойства пересечения:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Лемма 5.16. Пересечение подпространств пространства Х есть подпространство в Х.

В силу того, что названные множества являются в свою очередь подпространствами, то в конечномерном случае они имеют размерность. Соотношение между размерностями суммы и пересечения для случаю двух подпространств дает специальная теорема.

Теорема 5.6 (Грассман).

Пусть и – подпространства конечномерного пространства. Тогда имеет место формула

.

Доказательство. Будем считать, что (в противном случае доказательство протекает по той же схеме, но проще). И пусть будет базисом пересечения. Тогда в соответствии с леммой 5.14 эту систему можно дополнить до базиса и базиса , так как и . Пусть система будет базисом , а будет базисом . Построим объединенную систему . Если доказать, что эта система является базисом суммы, то теорема будет доказана. В самом деле, . Легко видеть, что каждый вектор суммы линейно выражается через объединенную систему. Поэтому, в соответствии определением базиса, осталось доказать линейную независимость системы. Применим критерий линейной независимости. Построим линейную комбинацию векторов системы и приравняем ее нулю. Если покажем, что в таком случае должны быть равны нулю все коэффициенты линейной комбинации, то

система оказывается линейно независимой. Действительно, пусть

.

Вектор , а вектор , но , поэтому , и, следовательно, может быть разложен по базису пересечения , т.е., . Тогда имеем:

. Откуда . Получили линейную комбинацию векторов базиса , равную нулю. Следовательно, по критерию линейной независимости все коэффициенты комбинации равны нулю. Таким образом, заведомо . Но тогда от исходной линейной комбинации остается

.

Теперь получаем линейную комбинацию базисных векторов , равную нулю. Поэтом и ее коэффициенты раны нулю, что и завершает доказательство теоремы.

Пример 5.16. Пусть заданы линейные оболочки и , где , , , . Требуется найти сумму и пересечение и . Очевидно, что суммой подпространств будет линейная оболочка, построенная на объединенной системе . Так как база системы является базисом соответствующей линейной оболочки, то ранг системы становится размерностью линейной оболочки. Вычисляя базу и ранг этой объединенной системы получаем, что базу составляют, например, , а ранг равен 3, т.е., , а . Поэтому по формуле Грассмана . Значит, . Далее, составляя векторное равенство и переходя к решению системы линейных уравнений, получим, что, например, . Это и в первом и во втором случае дает вектор пересечения , что означает .

Определение 5.17. Сумма подпространств называется прямой, если каждый вектор суммы , где , , однозначно представляется указанным образом. Обозначение для прямой суммы следующее:

.

Единственность представления векторов в прямой сумме напоминает разложение по базису. Таким образом, прямая сумма в этом смысле предоставляет описание векторов через «обобщенный базис».

Определение 5.18. Пусть пространство Х разложено в прямую сумму двух подпространств, именно: . Тогда М называется прямым дополнением к в Х.

Непосредственно увидеть единственность представления векторов суммы зачастую трудно. Поэтому следующий критерий прямой суммы позволяет взглянуть на это понятие с другой стороны.

Теорема 5.7 (первый критерий прямой суммы).

Сумма подпространств будет прямой тогда и только тогда, когда объединение базисов подпространств-слагаемых составляет базис суммы.

Доказательство. Необходимость. Пусть сумма прямая: . Зададим базисы подпространств-слагаемых. Положим – базис , – базис . Объединим базисы в одну систему и докажем ее линейную независимость. Доказательство же представимости векторов суммы через объединенную систему очевидно. Построим линейную комбинацию системы и приравняем ее нулю:

.

Введем обозначения: , , . Тогда получим, что , где . Нулевой вектор, очевидно, принадлежит сумме и всегда имеет тривиальное представление . Таким образом, в силу прямоты суммы получаем, что . Но тогда по критерию линейной независимости все коэффициенты линейных комбинаций, представляющих векторы , , через базисы подпространств-слагаемых, равны нулю. То есть, все коэффициенты исходной линейной комбинации равны нулю. Применение критерия линейной независимости завершает доказательство необходимости.

Достаточность. Пусть теперь введенные выше базисные системы составляют в объединении базис суммы. Значит, любой вектор суммы представляется через этот базис: . По свойству базиса (см. лемму 5.12) это представление единственно. Как вектор суммы представляется в виде: , где , , . Если бы указанный вектор, как вектор суммы, мог быть представлен иначе, то это сразу бы отразилось на представлении слагаемых в соответствии с той же леммой 5.12. Что сразу приводит к противоречию. Теорема доказана.

Пример 5.17. Пусть задано линейное пространство в виде линейной оболочки , где , , . Легко видеть, что указанная система линейно независима, т.е., представляет собой базис линейной оболочки. Разобьем ее на две подсистемы и . Тогда получим разложение в прямую сумму: , где , а . Здесь каждое слагаемое является прямым дополнением ко второму в .

Теорема 5.8 (второй критерий прямой суммы).

Сумма подпространств будет прямой тогда и только тогда, когда пересечение каждого из слагаемых с суммой остальных нулевое.

Доказательство. Необходимость. Пусть задана прямая сумма . И пусть, например, . Тогда это пересечение содержит ненулевой вектор , который может быть представлен двумя различными способами как вектор суммы. Действительно, так как , то , но , т.е., представляется в виде , а как вектор полной суммы в виде , что противоречит определению прямой суммы.

Достаточность. Пусть теперь , . Снова рассуждаем от противного. Предположим, что при этом сумма не является прямой. Это значит, что существует вектор y в сумме, представляющийся неоднозначно в виде , где , . Например, пусть еще . Вычитая из первого равенства второе, получим . Так как , , то это равенство представляет вектор 0 как вектор суммы. И пусть . Тогда , т.е., ненулевой вектор из принадлежит сумме , что противоречит условию. Теорема доказана.

Следствие 1. Сумма двух подпространств будет прямой тогда и только тогда, когда .

Следствие 2. .