Базис линейного пространства

Все линейные пространства над данным полем можно распределить по двум классам. Эти классы возникают ввиду следующего определения.

Определение 5.12. Линейное пространство называется конечномерным, если существует такая константа М, что любая линейно независимая система содержит не более М векторов. В противном случае пространство называется бесконечномерным.

Нулевое пространство будем считать конечномерным.

Пример 5.11. Бесконечномерным пространством является ( ) . Действительно,

рассмотрим систему векторов . Как легко видеть, она ЛНЗ. Ибо из равенства следует, что . Так как произвольно, то не существует ограничения М.

Пример 5.12. Бесконечномерным будет и пространство ( ).

В дальнейшем будем рассматривать лишь конечномерные пространства. Пусть Х такое пространство. Рассмотрим в нем ЛНЗ систему, содержащую максимальное число векторов: . Дополняя эту систему произвольным вектором , получаем уже ЛЗ систему: . Согласно теореме 5.4 вектор линейно выражается через исходную систему. Именно:

.

Отсюда получаем определение родственное понятию «база системы».

Определение 5.13. Линейно независимая система векторов конечномерного пространства, через которую линейно выражается каждый вектор этого пространства, называется базисом пространства.

Лемма 5.7. Каждое конечномерное пространство является линейной оболочкой своего базиса.

Лемма 5.8. Каждое подпространство конечномерного пространства само является конечномерным.

Лемма 5.9. Каждое подпространство конечномерного пространства является линейной оболочкой некоторой системы.

В силу того, что два базиса конечномерного пространства, очевидно, эквивалентны, получаем числовую характеристику пространства, родственную понятию «ранг системы».

Определение 5.14. Размерностью ненулевого пространства называется число векторов любого его базиса. Размерность нулевого пространства считаем равной нулю.

Обозначение для размерности пространства Х:

Опишем некоторые свойства базиса в виде несложных лемм.

Лемма 5.10. Любая линейно независимая система -мерного пространства, содержащая векторов, является базисом этого пространства.

Лемма 5.11. Любая система -мерного пространства, содержащая более векторов линейно зависима.

Лемма 5.12. Представление любого вектора в виде разложения по базису единственно.

Лемма 5.13 (критерий базиса). Система векторов является базисом пространства тогда и только тогда, когда она максимально линейно независима.

Лемма 5.14. Каждую линейно независимую систему векторов линейного пространства можно дополнить до базиса этого пространства.

Пример 5.13. Рассмотрим пространство , т.е., множество комплексных чисел над полем . Очевидно, что базисом такого пространства может служить система . Она линейно независима над полем , Каждый вектор однозначно линейно выражается через такую систему: . Размерность этого пространства равна двум, т.е. .

Пример 5.14. Рассмотрим пространство . Любую матрицу этого пространства можно однозначно представить через линейно независимую систему матриц

.

Действительно, . Поэтому .

Вновь, как и в случае с базами, сопоставим каждому вектору линейного пространства матрицу-строку или матрицу-столбец, составленные из коэффициентов разложения этого вектора по данному базису. Если , то назовем соответствующий набор координатной строкой (столбцом) вектора в данном базисе. Ввиду леммы 5.12 этот набор определяется базисом однозначно. Легко видеть, что данное отображение обладает линейными свойствами, т.е., сумме векторов отвечает сумма их координатных строк (столбцов), а произведению элемента поля на вектор отвечает произведение этого же элемента на координатную строку (столбец). Примем теперь обозначение для координатного столбца вектора в базисе как . И зададимся вопросом, как изменяются координаты вектора, если перейти к другому базису. Для этого зададим два базиса и , а также координатные столбцы вектора х в указанных базисах и . Нужно указать связь между и . Для этого выразим векторы второго базиса через векторы первого линейно. Получим

, или .

Составим матрицу Г из коэффициентов разложения векторов базиса по базису и транспонируем ее, так что нумерация строк и столбцов станет обычной. Тогда матрица Г примет вид:

.

Легко видеть, что , т.е. матрица является невырожденной. Действительно, если бы она была вырожденной, то были бы линейно зависимы ее столбцы (какой-то столбец являлся бы линейной комбинацией остальных, что следует из равенства определителя нулю). Но тогда была бы линейно зависима система , что невозможно. Эту матрицу назовем матрицей перехода от базиса к базису . Далее, пусть . Тогда

.

В силу единственности представления вектора через базис получаем, что

.

В матричной форме это выглядит так: . Или . Эти формулы и представляют собой закон преобразования координат при переходе от одного базиса к другому. Рассмотрим маленький пример.

Пример 5.15. Пусть задан вектор и базисы , . При этом , , а , . Тогда . Матрица

перехода от к будет и, наконец, .

Последнее можно проверить непосредственно.