Основное определение и простейшие свойства

В курсе средней школы изучаются векторы-направленные отрезки. Этого требуют естественные науки, например, физика. Выясняется, что некоторые физические величины обладают не только скалярной величиной, но и направлением действия. Ввиду того, что приходится описывать взаимодействие таких величин, вводятся операции над ними. Одна из них – сложение – может рассматриваться как БАО. Вторая же отличается тем, что в ней участвуют элементы разных по природе множеств. Это операция умножения направленного отрезка на вещественное число. Будем называть такую операцию внешним умножением. Из свойств операции сложения легко вывести тот факт, что направленные отрезки данной прямой, данной плоскости и пространства наделяются групповой структурой. Кроме того, операция внешнего умножения имеет вполне естественные свойства, и связь между операциями легко доказывается геометрически. Основной задачей данной главы будет построение новой алгебраической структуры, которая появляется за счет аксиоматизации свойств направленных отрезков, заданных групповых структур. Эта новая структура является основной средой линейной алгебры. Как правило, все построения в линейной алгебре выполняются в некотором линейном пространстве.

Определение 5.1. Пусть задано произвольное множество и поле Р. Тогда пара называется абстрактным линейным пространством Х над полем Р (в дальнейшем – просто пространством Х или ЛП Х), если

1. На Х задана БАО сложения «+», относительно которой Х является абелевой группой;

2. Задано отображение , называемое внешним умножением элементов поля на элементы Х, удовлетворяющее следующим аксиомам:

1. ;

2. .

3. 1. ;

2. .

Элементы множества Х называем векторами, а элементы поля Р– скалярами. Если поле Р является рациональным, вещественным или комплексным, то линейное пространство в свою очередь называется соответственно рациональным, вещественным или комплексным. В дальнейшем точку, изображающую операцию внешнего умножения, будем, как правило, опускать.

Как видно из определения 5.1, аксиомы линейного пространства повторяют свойства направленных отрезков прямой, плоскости и пространства. Поэтому эти пространства являются естественными примерами такой структуры.

Пример 5.1. Каждое поле Р над самим собой представляет линейное пространство. В данном случае векторы и скаляры формально одинаковы.

Пример 5.2. Пусть , тогда – линейное пространство. В частности или являются пространствами строк или столбцов.

Пример 5.3. Пусть , тогда – линейное пространство.

Пример 5.4. Пусть , а Р – любое числовое поле, тогда 0 – нулевое пространство.

Пример 5.5. Пусть – множество вещественных непрерывных функций, заданных на отрезке [0, 1]. Тогда получаем вещественное линейное пространство.

Отметим несколько простейших, но важных, следствий из аксиом. Нулевой элемент поля графически будет совпадать с изображением нулевого вектора, но из контекста будет ясно, где вектор.

1. ;